Номер 11.39, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.39, страница 90.

Условие.

11.39. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство:

1) $(x-a)^2(x-1) > 0;$

2) $(x-a)^2(x-1) \ge 0;$

3) $(x-a)(x-1)^2 < 0;$

4) $(x-a)(x-1)^2 \le 0.$

Решение.

1)

Решим неравенство $(x-a)^2(x-1) > 0$.

Множитель $(x-a)^2$ неотрицателен при любых значениях $x$. Для выполнения строгого неравенства он должен быть строго больше нуля, то есть $(x-a)^2 > 0$, что равносильно $x \ne a$.

При условии $x \ne a$, неравенство сводится к $x-1 > 0$, откуда $x > 1$.

Таким образом, решение неравенства — это множество всех $x$, удовлетворяющих системе:

$\begin{cases} x > 1 \\ x \ne a \end{cases}$

Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$.

1. Если $a \le 1$, то условие $x \ne a$ выполняется для всех $x > 1$. В этом случае решением является промежуток $(1, \infty)$.

2. Если $a > 1$, то значение $x=a$ попадает в промежуток $(1, \infty)$, и его необходимо исключить. Решением будет объединение промежутков $(1, a) \cup (a, \infty)$.

Ответ: если $a \le 1$, то $x \in (1, \infty)$; если $a > 1$, то $x \in (1, a) \cup (a, \infty)$.

2)

Решим неравенство $(x-a)^2(x-1) \ge 0$.

Множитель $(x-a)^2$ всегда неотрицателен. Произведение неотрицательно, если:

1) Выполняется условие $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

2) Выражение равно нулю, что происходит при $x-a=0$ или $x-1=0$. То есть при $x=a$ или $x=1$. Случай $x=1$ уже учтен в пункте 1. При $x=a$ неравенство принимает вид $0 \cdot (a-1) \ge 0$, что является верным ($0 \ge 0$) при любом $a$.

Следовательно, решение неравенства есть объединение множества решений неравенства $x \ge 1$ и точки $x=a$. Это можно записать как $x \in [1, \infty) \cup \{a\}$.

Рассмотрим взаимное расположение точки $a$ и промежутка $[1, \infty)$.

1. Если $a \ge 1$, то точка $a$ уже принадлежит промежутку $[1, \infty)$. В этом случае решением является промежуток $[1, \infty)$.

2. Если $a < 1$, то точка $a$ не принадлежит промежутку $[1, \infty)$. Решением будет объединение точки и промежутка: $\{a\} \cup [1, \infty)$.

Ответ: если $a < 1$, то $x \in \{a\} \cup [1, \infty)$; если $a \ge 1$, то $x \in [1, \infty)$.

3)

Решим неравенство $(x-a)(x-1)^2 < 0$.

Множитель $(x-1)^2$ неотрицателен при любых значениях $x$. Для выполнения строгого неравенства он должен быть строго больше нуля, то есть $(x-1)^2 > 0$, что равносильно $x \ne 1$.

При условии $x \ne 1$, неравенство сводится к $x-a < 0$, откуда $x < a$.

Таким образом, решение неравенства — это множество всех $x$, удовлетворяющих системе:

$\begin{cases} x < a \\ x \ne 1 \end{cases}$

Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$.

1. Если $a \le 1$, то все значения $x < a$ автоматически удовлетворяют условию $x < 1$, а значит и $x \ne 1$. В этом случае решением является промежуток $(-\infty, a)$.

2. Если $a > 1$, то значение $x=1$ попадает в промежуток $(-\infty, a)$, и его необходимо исключить. Решением будет объединение промежутков $(-\infty, 1) \cup (1, a)$.

Ответ: если $a \le 1$, то $x \in (-\infty, a)$; если $a > 1$, то $x \in (-\infty, 1) \cup (1, a)$.

4)

Решим неравенство $(x-a)(x-1)^2 \le 0$.

Множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен. Произведение неположительно, если:

1) Выполняется условие $x-a \le 0$, то есть $x \le a$.

2) Выражение равно нулю, что происходит при $x-a=0$ или $x-1=0$. То есть при $x=a$ или $x=1$. Случай $x=a$ уже учтен в пункте 1. При $x=1$ неравенство принимает вид $(1-a) \cdot 0 \le 0$, что является верным ($0 \le 0$) при любом $a$.

Следовательно, решение неравенства есть объединение множества решений неравенства $x \le a$ и точки $x=1$. Это можно записать как $x \in (-\infty, a] \cup \{1\}$.

Рассмотрим взаимное расположение точки $1$ и промежутка $(-\infty, a]$.

1. Если $a \ge 1$, то точка $1$ уже принадлежит промежутку $(-\infty, a]$. В этом случае решением является промежуток $(-\infty, a]$.

2. Если $a < 1$, то точка $1$ не принадлежит промежутку $(-\infty, a]$. Решением будет объединение промежутка и точки: $(-\infty, a] \cup \{1\}$.

Ответ: если $a < 1$, то $x \in (-\infty, a] \cup \{1\}$; если $a \ge 1$, то $x \in (-\infty, a]$.