Номер 12.1, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.1, страница 97.

Условие.

12.1. Раскройте модуль:

1) $\left|\frac{\pi}{3}-1\right|$; 3) $\left|2-\frac{\pi}{3}\right|$; 5) $\left|x-\frac{x^2}{4}-1\right|$;

2) $|\pi-3,14|$; 4) $|x^2+1|$; 6) $|x^2+2x+2|$.

Решение.

1) $|\frac{\pi}{3} - 1|$
Для того чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения, стоящего под знаком модуля.
Выражение под модулем: $\frac{\pi}{3} - 1$.
Мы знаем, что число $\pi$ приблизительно равно $3,14159...$.
Тогда $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14159}{3} \approx 1,047$.
Следовательно, $\frac{\pi}{3} > 1$, и разность $\frac{\pi}{3} - 1$ является положительным числом.
По определению модуля, если выражение под знаком модуля неотрицательно, то модуль этого выражения равен самому выражению: $|a| = a$, если $a \ge 0$.
Таким образом, $|\frac{\pi}{3} - 1| = \frac{\pi}{3} - 1$.
Ответ: $\frac{\pi}{3} - 1$.

2) $|\pi - 3,14|$
Определим знак выражения под модулем: $\pi - 3,14$.
Число $\pi$ является иррациональным, и его значение больше, чем $3,14$. Приблизительное значение $\pi \approx 3,14159...$.
Так как $\pi > 3,14$, разность $\pi - 3,14$ положительна.
Согласно определению модуля, для положительного числа $|a| = a$.
Поэтому, $|\pi - 3,14| = \pi - 3,14$.
Ответ: $\pi - 3,14$.

3) $|2 - \frac{\pi}{3}|$
Определим знак выражения $2 - \frac{\pi}{3}$.
Как мы установили в пункте 1, $\frac{\pi}{3} \approx 1,047$.
Следовательно, $2 - \frac{\pi}{3} \approx 2 - 1,047 = 0,953$. Это положительное число.
Также можно сравнить числа $2$ и $\frac{\pi}{3}$. Для этого сравним $2 \cdot 3$ и $\pi$, то есть $6$ и $\pi$.
Так как $6 > \pi$, то и $2 > \frac{\pi}{3}$. Значит, разность $2 - \frac{\pi}{3}$ положительна.
По определению модуля, $|2 - \frac{\pi}{3}| = 2 - \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $2 - \frac{\pi}{3}$.

4) $|x^2 + 1|$
Рассмотрим выражение под знаком модуля: $x^2 + 1$.
Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
Если к неотрицательному числу прибавить $1$, результат будет строго положительным: $x^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Так как выражение $x^2 + 1$ всегда положительно при любом значении $x$, модуль этого выражения равен самому выражению.
Следовательно, $|x^2 + 1| = x^2 + 1$.
Ответ: $x^2 + 1$.

5) $|x - \frac{x^2}{4} - 1|$
Рассмотрим выражение под знаком модуля: $x - \frac{x^2}{4} - 1$.
Для определения его знака, преобразуем его. Вынесем минус за скобки:
$-(\frac{x^2}{4} - x + 1)$.
Выражение в скобках, $\frac{x^2}{4} - x + 1$, является полным квадратом разности:
$\frac{x^2}{4} - x + 1 = (\frac{x}{2})^2 - 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1 + 1^2 = (\frac{x}{2} - 1)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(\frac{x}{2} - 1)^2$.
Квадрат любого действительного числа $(\frac{x}{2} - 1)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(\frac{x}{2} - 1)^2 \ge 0$.
Значит, выражение $-(\frac{x}{2} - 1)^2$ всегда неположительно, то есть $-(\frac{x}{2} - 1)^2 \le 0$.
По определению модуля, если выражение под знаком модуля неположительно, то его модуль равен противоположному выражению: $|a| = -a$, если $a \le 0$.
Следовательно, $|x - \frac{x^2}{4} - 1| = |-(\frac{x}{2} - 1)^2| = -(-(\frac{x}{2} - 1)^2) = (\frac{x}{2} - 1)^2$.
Раскроем скобки: $(\frac{x}{2} - 1)^2 = \frac{x^2}{4} - x + 1$.
Ответ: $\frac{x^2}{4} - x + 1$.

6) $|x^2 + 2x + 2|$
Рассмотрим квадратичное выражение под знаком модуля: $x^2 + 2x + 2$.
Для определения его знака, выделим полный квадрат:
$x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$.
Выражение $(x+1)^2$ как квадрат действительного числа всегда неотрицательно: $(x+1)^2 \ge 0$.
Следовательно, $(x+1)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Это означает, что выражение $x^2 + 2x + 2$ всегда строго положительно при любых значениях $x$.
По определению модуля, модуль положительного выражения равен самому выражению.
Таким образом, $|x^2 + 2x + 2| = x^2 + 2x + 2$.
Ответ: $x^2 + 2x + 2$.