Номер 12.6, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.6, страница 98.

Условие.

12.6. Упростите выражение:

1) $(3|x| - |y|)(3|x| + |y|);$

2) $\frac{|m| - |n|}{|m| + |n|} - \frac{|m| + |n|}{|m| - |n|}.$

Решение.

1) Для упрощения выражения $(3|x| - |y|)(3|x| + |y|)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = 3|x|$ и $b = |y|$. Подставим эти значения в формулу:

$(3|x| - |y|)(3|x| + |y|) = (3|x|)^2 - (|y|)^2$

Поскольку квадрат модуля числа равен квадрату самого числа (т.е. $|z|^2 = z^2$ для любого действительного $z$), мы можем переписать выражение следующим образом:

$(3|x|)^2 = 3^2 \cdot |x|^2 = 9x^2$

$(|y|)^2 = y^2$

Таким образом, окончательное упрощенное выражение имеет вид:

$9x^2 - y^2$

Ответ: $9x^2 - y^2$

2) Чтобы упростить выражение $\frac{|m|-|n|}{|m|+|n|} - \frac{|m|+|n|}{|m|-|n|}$, необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей: $(|m|+|n|)(|m|-|n|)$. Используя формулу разности квадратов, упростим его:

$(|m|+|n|)(|m|-|n|) = |m|^2 - |n|^2 = m^2 - n^2$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{(|m|-|n|)(|m|-|n|)}{(|m|+|n|)(|m|-|n|)} - \frac{(|m|+|n|)(|m|+|n|)}{(|m|+|n|)(|m|-|n|)} = \frac{(|m|-|n|)^2 - (|m|+|n|)^2}{m^2 - n^2}$

Числитель также представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = |m|-|n|$ и $b = |m|+|n|$. Разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(|m|-|n|)^2 - (|m|+|n|)^2 = ((|m|-|n|) - (|m|+|n|))((|m|-|n|) + (|m|+|n|))$

Раскроем скобки внутри:

$(|m|-|n|-|m|-|n|)(|m|-|n|+|m|+|n|) = (-2|n|)(2|m|) = -4|m||n|$

Так как $|m||n| = |mn|$, числитель равен $-4|mn|$.

Подставим полученный числитель обратно в выражение:

$\frac{-4|mn|}{m^2 - n^2}$

Ответ: $\frac{-4|mn|}{m^2 - n^2}$