Номер 12.12, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.12, страница 98.

Условие.

12.12. Докажите, что:

1) $|x| + |x - 3| \ge 3;$

2) $|x - 1| + |x - 3| \ge 2.$

Решение.

1) Докажем неравенство $|x| + |x - 3| \ge 3$.

Для доказательства воспользуемся свойством модуля, известным как неравенство треугольника. Для любых действительных чисел $a$ и $b$ справедливо следующее соотношение:

$|a| + |b| \ge |a + b|$

Чтобы применить это свойство к нашему неравенству, преобразуем одно из слагаемых в левой части. Используем свойство $|-c| = |c|$:

$|x - 3| = |-(3 - x)| = |3 - x|$

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$|x| + |3 - x| \ge 3$

Обозначим $a = x$ и $b = 3 - x$. Согласно неравенству треугольника:

$|a| + |b| \ge |a + b|$

$|x| + |3 - x| \ge |x + (3 - x)|$

Упростим выражение в правой части неравенства:

$|x + 3 - x| = |3| = 3$

Таким образом, мы получили, что $|x| + |x - 3| \ge 3$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $|x - 1| + |x - 3| \ge 2$.

Для доказательства этого неравенства также воспользуемся неравенством треугольника: $|a| + |b| \ge |a + b|$.

Преобразуем выражение в левой части, чтобы можно было применить свойство. Как и в предыдущем пункте, заменим $|x - 3|$ на $|3 - x|$:

$|x - 1| + |3 - x| \ge 2$

Теперь применим неравенство треугольника, положив $a = x - 1$ и $b = 3 - x$.

$|x - 1| + |3 - x| \ge |(x - 1) + (3 - x)|$

Выполним сложение в правой части под знаком модуля:

$|x - 1 + 3 - x| = |2| = 2$

Следовательно, мы доказали, что $|x - 1| + |x - 3| \ge 2$.

Ответ: Неравенство доказано.