Номер 12.18, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.18, страница 98.

Условие.

12.18. Решите уравнение:

1) $|x + 2| = 4x - 1$;

2) $|3x + 2| = 2x - 1$;

3) $|x - 1| = 4x + 3.$

Решение.

1) $|x + 2| = 4x - 1$

Уравнение вида $|A| = B$ равносильно системе, где $B \ge 0$ и $A=B$ или $A=-B$.

Сначала установим область допустимых значений. Так как модуль числа всегда неотрицателен, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:

$4x - 1 \ge 0$

$4x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{4}$

Теперь рассмотрим два возможных случая раскрытия модуля:

1. $x + 2 = 4x - 1$
$2 + 1 = 4x - x$
$3 = 3x$
$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $x \ge \frac{1}{4}$.
$1 \ge \frac{1}{4}$, условие выполняется. Значит, $x=1$ — корень уравнения.

2. $x + 2 = -(4x - 1)$
$x + 2 = -4x + 1$
$x + 4x = 1 - 2$
$5x = -1$
$x = -\frac{1}{5}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $x \ge \frac{1}{4}$.
$-\frac{1}{5} < \frac{1}{4}$, условие не выполняется. Значит, $x = -\frac{1}{5}$ — посторонний корень.

Ответ: $1$

2) $|3x + 2| = 2x - 1$

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:

$2x - 1 \ge 0$

$2x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{2}$

Рассмотрим два случая:

1. $3x + 2 = 2x - 1$
$3x - 2x = -1 - 2$
$x = -3$

Проверим условие $x \ge \frac{1}{2}$.
$-3 < \frac{1}{2}$, условие не выполняется. $x = -3$ — посторонний корень.

2. $3x + 2 = -(2x - 1)$
$3x + 2 = -2x + 1$
$3x + 2x = 1 - 2$
$5x = -1$
$x = -\frac{1}{5}$

Проверим условие $x \ge \frac{1}{2}$.
$-\frac{1}{5} < \frac{1}{2}$, условие не выполняется. $x = -\frac{1}{5}$ — также посторонний корень.

Поскольку ни один из потенциальных корней не удовлетворяет области допустимых значений, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

3) $|x - 1| = 4x + 3$

Условие неотрицательности правой части:

$4x + 3 \ge 0$

$4x \ge -3$

$x \ge -\frac{3}{4}$

Рассмотрим два случая:

1. $x - 1 = 4x + 3$
$-1 - 3 = 4x - x$
$-4 = 3x$
$x = -\frac{4}{3}$

Проверим условие $x \ge -\frac{3}{4}$.
$-\frac{4}{3} = -1.333...$, а $-\frac{3}{4} = -0.75$. Так как $-1.333... < -0.75$, условие не выполняется. $x = -\frac{4}{3}$ — посторонний корень.

2. $x - 1 = -(4x + 3)$
$x - 1 = -4x - 3$
$x + 4x = -3 + 1$
$5x = -2$
$x = -\frac{2}{5}$

Проверим условие $x \ge -\frac{3}{4}$.
$-\frac{2}{5} = -0.4$. Так как $-0.4 > -0.75$, условие выполняется. Значит, $x = -\frac{2}{5}$ — корень уравнения.

Ответ: $-\frac{2}{5}$