Номер 12.9, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.9, страница 98.

Условие.

12.9. Решите неравенство:

1) $|x+5|<4;$

2) $|2x-1|>3;$

3) $|3x+2|\le 1;$

4) $|5x-1|\ge 4.$

Решение.

1) $|x + 5| < 4$

Неравенство вида $|a| < b$ (где $b > 0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$. Применим это правило к нашему случаю:

$-4 < x + 5 < 4$

Чтобы найти $x$, вычтем 5 из всех частей двойного неравенства:

$-4 - 5 < x + 5 - 5 < 4 - 5$

$-9 < x < -1$

Решением является интервал $(-9; -1)$.

Ответ: $x \in (-9; -1)$.

2) $|2x - 1| > 3$

Неравенство вида $|a| > b$ (где $b > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a > b$ или $a < -b$.

$$ \begin{bmatrix} 2x - 1 > 3 \\ 2x - 1 < -3 \end{bmatrix} $$

Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:

$2x - 1 > 3$

$2x > 3 + 1$

$2x > 4$

$x > 2$

Второе неравенство:

$2x - 1 < -3$

$2x < -3 + 1$

$2x < -2$

$x < -1$

Объединяем полученные решения. Решением исходного неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -1)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

3) $|3x + 2| \le 1$

Неравенство вида $|a| \le b$ (где $b \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.

$-1 \le 3x + 2 \le 1$

Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-1 - 2 \le 3x + 2 - 2 \le 1 - 2$

$-3 \le 3x \le -1$

Разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{3}{3} \le x \le -\frac{1}{3}$

$-1 \le x \le -\frac{1}{3}$

Решением является отрезок $[-1; -1/3]$.

Ответ: $x \in [-1; -1/3]$.

4) $|5x - 1| \ge 4$

Неравенство вида $|a| \ge b$ (где $b \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge b$ или $a \le -b$.

$$ \begin{bmatrix} 5x - 1 \ge 4 \\ 5x - 1 \le -4 \end{bmatrix} $$

Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:

$5x - 1 \ge 4$

$5x \ge 4 + 1$

$5x \ge 5$

$x \ge 1$

Второе неравенство:

$5x - 1 \le -4$

$5x \le -4 + 1$

$5x \le -3$

$x \le -\frac{3}{5}$

Объединяем полученные решения. Решением является объединение промежутков $(-\infty; -3/5]$ и $[1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3/5] \cup [1; +\infty)$.