Номер 13.1, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.1, страница 108.

Условие.

13.1. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = 4x - 4$. Постройте графики данных функций и отметьте найденные точки.

Решение.

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций y = x² и y = 4x – 4

Для нахождения координат точек пересечения графиков, необходимо решить систему уравнений, так как в этих точках значения координат $x$ и $y$ у обеих функций совпадают:
$\begin{cases} y = x^2 \\ y = 4x - 4 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:
$x^2 = 4x - 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 4x + 4 = 0$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности:
$(x - 2)^2 = 0$

Решив уравнение, находим единственное значение $x$:
$x - 2 = 0$
$x = 2$

Так как мы получили только одно значение $x$, это означает, что графики функций имеют одну общую точку (касаются друг друга).

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 2$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся уравнением $y = x^2$:
$y = 2^2 = 4$

Следовательно, точка пересечения (касания) графиков имеет координаты (2, 4).

Ответ: $(2, 4)$.

Постройте графики данных функций и отметьте найденные точки

1. График функции $y = x^2$ — это парабола. Вершина находится в точке $(0, 0)$, ветви направлены вверх. Для построения воспользуемся точками: $(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)$.

2. График функции $y = 4x - 4$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:
- С осью OY ($x = 0$): $y = 4(0) - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
- С осью OX ($y = 0$): $0 = 4x - 4 \implies 4x = 4 \implies x = 1$. Точка $(1, 0)$.

Построим оба графика в одной системе координат и отметим их общую точку $(2, 4)$.

На рисунке синим цветом построен график параболы $y = x^2$, а красным цветом — график прямой $y = 4x - 4$. Их точка касания $(2, 4)$ отмечена.

Ответ: Графики функций построены, точка пересечения $(2, 4)$ отмечена на рисунке.