Номер 13.4, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.4, страница 108.

Условие.

13.4. Определите графически количество решений системы уравнений:

1)

$$ \begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x - y + 6 = 0; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} y - x^2 = 0, \\ 2x + 5y = 10. \end{cases} $$

Решение.

1)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x - y + 6 = 0. \end{cases} $$ Для графического решения необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти количество точек их пересечения.

Первое уравнение $y - x^2 = 0$ можно переписать в виде $y = x^2$. Графиком этой функции является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Второе уравнение $x - y + 6 = 0$ можно переписать в виде $y = x + 6$. Графиком этой функции является прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = 6$ (точка $(0, 6)$); если $y = 0$, то $x = -6$ (точка $(-6, 0)$).

Построим графики параболы $y = x^2$ и прямой $y = x + 6$ в одной координатной плоскости.

Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Это означает, что система уравнений имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

2)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} y - x^2 = 0, \\ 2x + 5y = 10. \end{cases} $$ Аналогично первому пункту, построим графики функций, соответствующих уравнениям системы.

Первое уравнение: $y = x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.

Второе уравнение $2x + 5y = 10$ преобразуем к виду функции от $x$: $5y = 10 - 2x$, откуда $y = 2 - \frac{2}{5}x$. Графиком этой функции является прямая. Найдем две точки для ее построения: если $x = 0$, то $y = 2$ (точка $(0, 2)$); если $y = 0$, то $2x = 10$, откуда $x=5$ (точка $(5, 0)$).

Построим графики параболы $y = x^2$ и прямой $y = 2 - \frac{2}{5}x$ в одной координатной плоскости.

Графики пересекаются в двух точках, следовательно, данная система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.