Номер 24.24, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.24, страница 202.
№24.24 (с. 202)
Условие. №24.24 (с. 202)
скриншот условия
 
                                24.24. Решите уравнение:
1) $(x - 2)^4 + (x - 3)^4 = 1;$
2) $(x + 6)^4 + (x + 4)^4 = 82.$
Решение. №24.24 (с. 202)
1) $(x-2)^4 + (x-3)^4 = 1$
Данное уравнение вида $(x-a)^4 + (x-b)^4 = c$. Для его решения удобно использовать замену переменной, основанную на среднем арифметическом чисел $a=2$ и $b=3$. Среднее арифметическое равно $\frac{2+3}{2} = 2.5$.
Введем новую переменную $y = x - 2.5$. Тогда $x = y + 2.5$.
Подставим это в исходное уравнение. Выразим скобки через $y$:
$x - 2 = (y + 2.5) - 2 = y + 0.5$
$x - 3 = (y + 2.5) - 3 = y - 0.5$
Уравнение принимает вид:
$(y + 0.5)^4 + (y - 0.5)^4 = 1$
Воспользуемся формулой бинома Ньютона $(a \pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4$. Представим $0.5$ как $\frac{1}{2}$:
$(y + \frac{1}{2})^4 = y^4 + 4y^3(\frac{1}{2}) + 6y^2(\frac{1}{2})^2 + 4y(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 = y^4 + 2y^3 + \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}y + \frac{1}{16}$
$(y - \frac{1}{2})^4 = y^4 - 4y^3(\frac{1}{2}) + 6y^2(\frac{1}{2})^2 - 4y(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 = y^4 - 2y^3 + \frac{3}{2}y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{16}$
Складывая эти два выражения, слагаемые с нечетными степенями $y$ взаимно уничтожаются:
$(y^4 + 2y^3 + \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}y + \frac{1}{16}) + (y^4 - 2y^3 + \frac{3}{2}y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{16}) = 1$
$2y^4 + 2 \cdot \frac{3}{2}y^2 + 2 \cdot \frac{1}{16} = 1$
$2y^4 + 3y^2 + \frac{1}{8} = 1$
Перенесем 1 в левую часть:
$2y^4 + 3y^2 + \frac{1}{8} - 1 = 0$
$2y^4 + 3y^2 - \frac{7}{8} = 0$
Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дробей:
$16y^4 + 24y^2 - 7 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: $z = y^2$, где $z \ge 0$.
$16z^2 + 24z - 7 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $z$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-7) = 576 + 448 = 1024 = 32^2$
$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm 32}{2 \cdot 16} = \frac{-24 \pm 32}{32}$
$z_1 = \frac{-24 + 32}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$
$z_2 = \frac{-24 - 32}{32} = \frac{-56}{32} = -\frac{7}{4}$
Так как $z = y^2 \ge 0$, корень $z_2 = -\frac{7}{4}$ является посторонним.
Остается $z = \frac{1}{4}$.
Вернемся к переменной $y$:
$y^2 = \frac{1}{4} \implies y_1 = \frac{1}{2}, y_2 = -\frac{1}{2}$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя формулу $x = y + 2.5$.
Если $y_1 = \frac{1}{2} = 0.5$, то $x_1 = 0.5 + 2.5 = 3$.
Если $y_2 = -\frac{1}{2} = -0.5$, то $x_2 = -0.5 + 2.5 = 2$.
Ответ: 2; 3.
2) $(x+6)^4 + (x+4)^4 = 82$
Аналогично первому пункту, решим уравнение с помощью замены переменной. Найдем среднее арифметическое чисел $-6$ и $-4$: $\frac{-6 + (-4)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Введем новую переменную $y = x - (-5) = x + 5$. Тогда $x = y - 5$.
Подставим это в исходное уравнение. Выразим скобки через $y$:
$x + 6 = (y - 5) + 6 = y + 1$
$x + 4 = (y - 5) + 4 = y - 1$
Уравнение принимает вид:
$(y + 1)^4 + (y - 1)^4 = 82$
Раскроем скобки, используя бином Ньютона:
$(y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) + (y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) = 82$
Слагаемые с нечетными степенями $y$ взаимно уничтожаются:
$2y^4 + 12y^2 + 2 = 82$
Перенесем 82 в левую часть:
$2y^4 + 12y^2 - 80 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$y^4 + 6y^2 - 40 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = y^2$, где $z \ge 0$.
$z^2 + 6z - 40 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-40$, а их сумма $-6$. Корни легко подбираются: $z_1 = -10$ и $z_2 = 4$.
Так как $z = y^2 \ge 0$, корень $z_1 = -10$ является посторонним.
Остается $z = 4$.
Вернемся к переменной $y$:
$y^2 = 4 \implies y_1 = 2, y_2 = -2$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя формулу $x = y - 5$.
Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 - 5 = -3$.
Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 - 5 = -7$.
Ответ: -7; -3.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 24.24 расположенного на странице 202 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24.24 (с. 202), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    