Номер 24.24, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.24, страница 202.

Условие.

24.24. Решите уравнение:

1) $(x - 2)^4 + (x - 3)^4 = 1;$

2) $(x + 6)^4 + (x + 4)^4 = 82.$

Решение.

1) $(x-2)^4 + (x-3)^4 = 1$

Данное уравнение вида $(x-a)^4 + (x-b)^4 = c$. Для его решения удобно использовать замену переменной, основанную на среднем арифметическом чисел $a=2$ и $b=3$. Среднее арифметическое равно $\frac{2+3}{2} = 2.5$.

Введем новую переменную $y = x - 2.5$. Тогда $x = y + 2.5$.

Подставим это в исходное уравнение. Выразим скобки через $y$:

$x - 2 = (y + 2.5) - 2 = y + 0.5$

$x - 3 = (y + 2.5) - 3 = y - 0.5$

Уравнение принимает вид:

$(y + 0.5)^4 + (y - 0.5)^4 = 1$

Воспользуемся формулой бинома Ньютона $(a \pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4$. Представим $0.5$ как $\frac{1}{2}$:

$(y + \frac{1}{2})^4 = y^4 + 4y^3(\frac{1}{2}) + 6y^2(\frac{1}{2})^2 + 4y(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 = y^4 + 2y^3 + \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}y + \frac{1}{16}$

$(y - \frac{1}{2})^4 = y^4 - 4y^3(\frac{1}{2}) + 6y^2(\frac{1}{2})^2 - 4y(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 = y^4 - 2y^3 + \frac{3}{2}y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{16}$

Складывая эти два выражения, слагаемые с нечетными степенями $y$ взаимно уничтожаются:

$(y^4 + 2y^3 + \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}y + \frac{1}{16}) + (y^4 - 2y^3 + \frac{3}{2}y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{16}) = 1$

$2y^4 + 2 \cdot \frac{3}{2}y^2 + 2 \cdot \frac{1}{16} = 1$

$2y^4 + 3y^2 + \frac{1}{8} = 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$2y^4 + 3y^2 + \frac{1}{8} - 1 = 0$

$2y^4 + 3y^2 - \frac{7}{8} = 0$

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дробей:

$16y^4 + 24y^2 - 7 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: $z = y^2$, где $z \ge 0$.

$16z^2 + 24z - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $z$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-7) = 576 + 448 = 1024 = 32^2$

$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm 32}{2 \cdot 16} = \frac{-24 \pm 32}{32}$

$z_1 = \frac{-24 + 32}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

$z_2 = \frac{-24 - 32}{32} = \frac{-56}{32} = -\frac{7}{4}$

Так как $z = y^2 \ge 0$, корень $z_2 = -\frac{7}{4}$ является посторонним.

Остается $z = \frac{1}{4}$.

Вернемся к переменной $y$:

$y^2 = \frac{1}{4} \implies y_1 = \frac{1}{2}, y_2 = -\frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя формулу $x = y + 2.5$.

Если $y_1 = \frac{1}{2} = 0.5$, то $x_1 = 0.5 + 2.5 = 3$.

Если $y_2 = -\frac{1}{2} = -0.5$, то $x_2 = -0.5 + 2.5 = 2$.

Ответ: 2; 3.

2) $(x+6)^4 + (x+4)^4 = 82$

Аналогично первому пункту, решим уравнение с помощью замены переменной. Найдем среднее арифметическое чисел $-6$ и $-4$: $\frac{-6 + (-4)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Введем новую переменную $y = x - (-5) = x + 5$. Тогда $x = y - 5$.

Подставим это в исходное уравнение. Выразим скобки через $y$:

$x + 6 = (y - 5) + 6 = y + 1$

$x + 4 = (y - 5) + 4 = y - 1$

Уравнение принимает вид:

$(y + 1)^4 + (y - 1)^4 = 82$

Раскроем скобки, используя бином Ньютона:

$(y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) + (y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) = 82$

Слагаемые с нечетными степенями $y$ взаимно уничтожаются:

$2y^4 + 12y^2 + 2 = 82$

Перенесем 82 в левую часть:

$2y^4 + 12y^2 - 80 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$y^4 + 6y^2 - 40 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = y^2$, где $z \ge 0$.

$z^2 + 6z - 40 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-40$, а их сумма $-6$. Корни легко подбираются: $z_1 = -10$ и $z_2 = 4$.

Так как $z = y^2 \ge 0$, корень $z_1 = -10$ является посторонним.

Остается $z = 4$.

Вернемся к переменной $y$:

$y^2 = 4 \implies y_1 = 2, y_2 = -2$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя формулу $x = y - 5$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 - 5 = -3$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 - 5 = -7$.

Ответ: -7; -3.