Номер 24.27, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.27, страница 203.
№24.27 (с. 203)
Условие. №24.27 (с. 203)
скриншот условия
 
                                24.27. Решите уравнение:
1) $x^2 + \left(\frac{x}{x-1}\right)^2 = 8;$
2) $x^2 + \left(\frac{x}{2x-1}\right)^2 = 2;$
3) $\left(\frac{x}{x-1}\right)^2 + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 = 90;$
4) $x^2 + \frac{25x^2}{(5+2x)^2} = 104.$
Решение. №24.27 (с. 203)
1) $x^2 + \left(\frac{x}{x-1}\right)^2 = 8$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Это уравнение вида $a^2 + b^2 = 8$, где $a=x$ и $b=\frac{x}{x-1}$.
Воспользуемся тождеством $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.
Найдем $a+b$ и $ab$:
$a+b = x + \frac{x}{x-1} = \frac{x(x-1)+x}{x-1} = \frac{x^2-x+x}{x-1} = \frac{x^2}{x-1}$
$ab = x \cdot \frac{x}{x-1} = \frac{x^2}{x-1}$
Подставим эти выражения в тождество:
$\left(\frac{x^2}{x-1}\right)^2 - 2\left(\frac{x^2}{x-1}\right) = 8$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{x^2}{x-1}$. Уравнение примет вид:
$y^2 - 2y = 8$
$y^2 - 2y - 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=4$ и $y_2=-2$.
Теперь выполним обратную замену для каждого корня:
Случай 1: $y = 4$
$\frac{x^2}{x-1} = 4$
$x^2 = 4(x-1)$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x-2)^2 = 0$
$x_1 = 2$
Случай 2: $y = -2$
$\frac{x^2}{x-1} = -2$
$x^2 = -2(x-1)$
$x^2 + 2x - 2 = 0$
Решим через дискриминант: $D = 2^2 - 4(1)(-2) = 4+8=12$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$
$x_2 = -1 + \sqrt{3}$, $x_3 = -1 - \sqrt{3}$
Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $2; -1+\sqrt{3}; -1-\sqrt{3}$.
2) $x^2 + \left(\frac{x}{2x-1}\right)^2 = 2$
ОДЗ: $2x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{2}$.
Это уравнение вида $a^2 + b^2 = 2$, где $a=x$ и $b=\frac{x}{2x-1}$.
Воспользуемся тождеством $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.
$a+b = x + \frac{x}{2x-1} = \frac{x(2x-1)+x}{2x-1} = \frac{2x^2-x+x}{2x-1} = \frac{2x^2}{2x-1}$
$ab = x \cdot \frac{x}{2x-1} = \frac{x^2}{2x-1}$
Подставим в уравнение: $\left(\frac{2x^2}{2x-1}\right)^2 - 2\frac{x^2}{2x-1} = 2$.
Сделаем замену. Пусть $y = \frac{2x^2}{2x-1}$. Тогда $\frac{x^2}{2x-1} = \frac{y}{2}$. Уравнение примет вид:
$y^2 - 2\left(\frac{y}{2}\right) = 2$
$y^2 - y - 2 = 0$
По теореме Виета, корни $y_1=2$ и $y_2=-1$.
Выполним обратную замену:
Случай 1: $y = 2$
$\frac{2x^2}{2x-1} = 2$
$x^2 = 2x-1$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x-1)^2 = 0$
$x_1 = 1$
Случай 2: $y = -1$
$\frac{2x^2}{2x-1} = -1$
$2x^2 = -(2x-1)$
$2x^2 + 2x - 1 = 0$
$D = 2^2 - 4(2)(-1) = 4+8=12$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$
$x_2 = \frac{-1+\sqrt{3}}{2}$, $x_3 = \frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
Все корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $1; \frac{-1+\sqrt{3}}{2}; \frac{-1-\sqrt{3}}{2}$.
3) $\left(\frac{x}{x-1}\right)^2 + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 = 90$
ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Пусть $a=\frac{x}{x-1}$ и $b=\frac{x}{x+1}$. Уравнение: $a^2+b^2=90$.
Используем тождество $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.
$a+b = \frac{x}{x-1} + \frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1)+x(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+x+x^2-x}{x^2-1} = \frac{2x^2}{x^2-1}$
$ab = \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x^2}{x^2-1}$
Заметим, что $a+b = 2ab$.
Сделаем замену. Пусть $y = ab = \frac{x^2}{x^2-1}$. Тогда $a+b=2y$.
Подставим в уравнение $a^2+b^2=90$:
$(2y)^2 - 2y = 90$
$4y^2 - 2y - 90 = 0$
$2y^2 - y - 45 = 0$
$D = (-1)^2 - 4(2)(-45) = 1+360=361=19^2$.
$y = \frac{1 \pm 19}{4}$.
$y_1 = \frac{1+19}{4} = 5$, $y_2 = \frac{1-19}{4} = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$.
Выполним обратную замену:
Случай 1: $y=5$
$\frac{x^2}{x^2-1} = 5$
$x^2 = 5(x^2-1)$
$x^2 = 5x^2 - 5$
$4x^2=5 \implies x^2 = \frac{5}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$
Случай 2: $y = -\frac{9}{2}$
$\frac{x^2}{x^2-1} = -\frac{9}{2}$
$2x^2 = -9(x^2-1)$
$2x^2 = -9x^2 + 9$
$11x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{11} \implies x = \pm \frac{3}{\sqrt{11}} = \pm \frac{3\sqrt{11}}{11}$
Все корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\pm \frac{\sqrt{5}}{2}; \pm \frac{3\sqrt{11}}{11}$.
4) $x^2 + \frac{25x^2}{(5+2x)^2} = 104$
ОДЗ: $5+2x \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{5}{2}$.
Перепишем уравнение: $x^2 + \left(\frac{5x}{5+2x}\right)^2 = 104$.
Пусть $a=x$ и $b=\frac{5x}{5+2x}$. Уравнение: $a^2+b^2=104$.
Воспользуемся тождеством $a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab$.
$a-b = x - \frac{5x}{5+2x} = \frac{x(5+2x)-5x}{5+2x} = \frac{5x+2x^2-5x}{5+2x} = \frac{2x^2}{5+2x}$
$ab = x \cdot \frac{5x}{5+2x} = \frac{5x^2}{5+2x}$
Заметим, что $ab = \frac{5}{2} \cdot \frac{2x^2}{5+2x} = \frac{5}{2}(a-b)$.
Сделаем замену. Пусть $y = a-b = \frac{2x^2}{5+2x}$. Тогда $ab = \frac{5}{2}y$.
Подставим в уравнение $a^2+b^2=104$:
$y^2 + 2\left(\frac{5}{2}y\right) = 104$
$y^2 + 5y - 104 = 0$
$D = 5^2 - 4(1)(-104) = 25+416=441=21^2$.
$y = \frac{-5 \pm 21}{2}$.
$y_1 = \frac{-5+21}{2} = 8$, $y_2 = \frac{-5-21}{2} = -13$.
Выполним обратную замену:
Случай 1: $y=8$
$\frac{2x^2}{5+2x} = 8$
$2x^2 = 8(5+2x) \implies x^2 = 20+8x \implies x^2-8x-20=0$
По теореме Виета, $x_1=10$, $x_2=-2$.
Случай 2: $y=-13$
$\frac{2x^2}{5+2x} = -13$
$2x^2 = -13(5+2x) \implies 2x^2 = -65-26x \implies 2x^2+26x+65=0$
$D = 26^2 - 4(2)(65) = 676 - 520 = 156$.
$x = \frac{-26 \pm \sqrt{156}}{4} = \frac{-26 \pm 2\sqrt{39}}{4} = \frac{-13 \pm \sqrt{39}}{2}$
$x_3 = \frac{-13+\sqrt{39}}{2}$, $x_4 = \frac{-13-\sqrt{39}}{2}$
Все корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $10; -2; \frac{-13+\sqrt{39}}{2}; \frac{-13-\sqrt{39}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 24.27 расположенного на странице 203 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24.27 (с. 203), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    