Номер 24.27, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.27, страница 203.

Условие.

24.27. Решите уравнение:

1) $x^2 + \left(\frac{x}{x-1}\right)^2 = 8;$

2) $x^2 + \left(\frac{x}{2x-1}\right)^2 = 2;$

3) $\left(\frac{x}{x-1}\right)^2 + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 = 90;$

4) $x^2 + \frac{25x^2}{(5+2x)^2} = 104.$

Решение.

1) $x^2 + \left(\frac{x}{x-1}\right)^2 = 8$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Это уравнение вида $a^2 + b^2 = 8$, где $a=x$ и $b=\frac{x}{x-1}$.

Воспользуемся тождеством $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

Найдем $a+b$ и $ab$:

$a+b = x + \frac{x}{x-1} = \frac{x(x-1)+x}{x-1} = \frac{x^2-x+x}{x-1} = \frac{x^2}{x-1}$

$ab = x \cdot \frac{x}{x-1} = \frac{x^2}{x-1}$

Подставим эти выражения в тождество:

$\left(\frac{x^2}{x-1}\right)^2 - 2\left(\frac{x^2}{x-1}\right) = 8$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{x^2}{x-1}$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 2y = 8$

$y^2 - 2y - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=4$ и $y_2=-2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

Случай 1: $y = 4$

$\frac{x^2}{x-1} = 4$

$x^2 = 4(x-1)$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

$x_1 = 2$

Случай 2: $y = -2$

$\frac{x^2}{x-1} = -2$

$x^2 = -2(x-1)$

$x^2 + 2x - 2 = 0$

Решим через дискриминант: $D = 2^2 - 4(1)(-2) = 4+8=12$.

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

$x_2 = -1 + \sqrt{3}$, $x_3 = -1 - \sqrt{3}$

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; -1+\sqrt{3}; -1-\sqrt{3}$.

2) $x^2 + \left(\frac{x}{2x-1}\right)^2 = 2$

ОДЗ: $2x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{2}$.

Это уравнение вида $a^2 + b^2 = 2$, где $a=x$ и $b=\frac{x}{2x-1}$.

Воспользуемся тождеством $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

$a+b = x + \frac{x}{2x-1} = \frac{x(2x-1)+x}{2x-1} = \frac{2x^2-x+x}{2x-1} = \frac{2x^2}{2x-1}$

$ab = x \cdot \frac{x}{2x-1} = \frac{x^2}{2x-1}$

Подставим в уравнение: $\left(\frac{2x^2}{2x-1}\right)^2 - 2\frac{x^2}{2x-1} = 2$.

Сделаем замену. Пусть $y = \frac{2x^2}{2x-1}$. Тогда $\frac{x^2}{2x-1} = \frac{y}{2}$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 2\left(\frac{y}{2}\right) = 2$

$y^2 - y - 2 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1=2$ и $y_2=-1$.

Выполним обратную замену:

Случай 1: $y = 2$

$\frac{2x^2}{2x-1} = 2$

$x^2 = 2x-1$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x_1 = 1$

Случай 2: $y = -1$

$\frac{2x^2}{2x-1} = -1$

$2x^2 = -(2x-1)$

$2x^2 + 2x - 1 = 0$

$D = 2^2 - 4(2)(-1) = 4+8=12$.

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$

$x_2 = \frac{-1+\sqrt{3}}{2}$, $x_3 = \frac{-1-\sqrt{3}}{2}$

Все корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; \frac{-1+\sqrt{3}}{2}; \frac{-1-\sqrt{3}}{2}$.

3) $\left(\frac{x}{x-1}\right)^2 + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 = 90$

ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Пусть $a=\frac{x}{x-1}$ и $b=\frac{x}{x+1}$. Уравнение: $a^2+b^2=90$.

Используем тождество $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

$a+b = \frac{x}{x-1} + \frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1)+x(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+x+x^2-x}{x^2-1} = \frac{2x^2}{x^2-1}$

$ab = \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x^2}{x^2-1}$

Заметим, что $a+b = 2ab$.

Сделаем замену. Пусть $y = ab = \frac{x^2}{x^2-1}$. Тогда $a+b=2y$.

Подставим в уравнение $a^2+b^2=90$:

$(2y)^2 - 2y = 90$

$4y^2 - 2y - 90 = 0$

$2y^2 - y - 45 = 0$

$D = (-1)^2 - 4(2)(-45) = 1+360=361=19^2$.

$y = \frac{1 \pm 19}{4}$.

$y_1 = \frac{1+19}{4} = 5$, $y_2 = \frac{1-19}{4} = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$.

Выполним обратную замену:

Случай 1: $y=5$

$\frac{x^2}{x^2-1} = 5$

$x^2 = 5(x^2-1)$

$x^2 = 5x^2 - 5$

$4x^2=5 \implies x^2 = \frac{5}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

Случай 2: $y = -\frac{9}{2}$

$\frac{x^2}{x^2-1} = -\frac{9}{2}$

$2x^2 = -9(x^2-1)$

$2x^2 = -9x^2 + 9$

$11x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{11} \implies x = \pm \frac{3}{\sqrt{11}} = \pm \frac{3\sqrt{11}}{11}$

Все корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\pm \frac{\sqrt{5}}{2}; \pm \frac{3\sqrt{11}}{11}$.

4) $x^2 + \frac{25x^2}{(5+2x)^2} = 104$

ОДЗ: $5+2x \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{5}{2}$.

Перепишем уравнение: $x^2 + \left(\frac{5x}{5+2x}\right)^2 = 104$.

Пусть $a=x$ и $b=\frac{5x}{5+2x}$. Уравнение: $a^2+b^2=104$.

Воспользуемся тождеством $a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab$.

$a-b = x - \frac{5x}{5+2x} = \frac{x(5+2x)-5x}{5+2x} = \frac{5x+2x^2-5x}{5+2x} = \frac{2x^2}{5+2x}$

$ab = x \cdot \frac{5x}{5+2x} = \frac{5x^2}{5+2x}$

Заметим, что $ab = \frac{5}{2} \cdot \frac{2x^2}{5+2x} = \frac{5}{2}(a-b)$.

Сделаем замену. Пусть $y = a-b = \frac{2x^2}{5+2x}$. Тогда $ab = \frac{5}{2}y$.

Подставим в уравнение $a^2+b^2=104$:

$y^2 + 2\left(\frac{5}{2}y\right) = 104$

$y^2 + 5y - 104 = 0$

$D = 5^2 - 4(1)(-104) = 25+416=441=21^2$.

$y = \frac{-5 \pm 21}{2}$.

$y_1 = \frac{-5+21}{2} = 8$, $y_2 = \frac{-5-21}{2} = -13$.

Выполним обратную замену:

Случай 1: $y=8$

$\frac{2x^2}{5+2x} = 8$

$2x^2 = 8(5+2x) \implies x^2 = 20+8x \implies x^2-8x-20=0$

По теореме Виета, $x_1=10$, $x_2=-2$.

Случай 2: $y=-13$

$\frac{2x^2}{5+2x} = -13$

$2x^2 = -13(5+2x) \implies 2x^2 = -65-26x \implies 2x^2+26x+65=0$

$D = 26^2 - 4(2)(65) = 676 - 520 = 156$.

$x = \frac{-26 \pm \sqrt{156}}{4} = \frac{-26 \pm 2\sqrt{39}}{4} = \frac{-13 \pm \sqrt{39}}{2}$

$x_3 = \frac{-13+\sqrt{39}}{2}$, $x_4 = \frac{-13-\sqrt{39}}{2}$

Все корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10; -2; \frac{-13+\sqrt{39}}{2}; \frac{-13-\sqrt{39}}{2}$.