Номер 25.3, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.3, страница 210.

Условие.

25.3. Поезд опаздывал на 10 мин. Чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, он за 80 км до этой станции увеличил свою скорость на 16 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

Решение.

Пусть первоначальная скорость поезда равна $v$ км/ч. Тогда после увеличения скорость стала $(v + 16)$ км/ч.

Поезд опаздывал на 10 минут. Чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, ему нужно было сократить время поездки на эти 10 минут на оставшемся участке пути длиной 80 км. Это означает, что разница между временем, которое поезд затратил бы на этот участок с первоначальной скоростью, и временем, которое он фактически затратил с увеличенной скоростью, составляет 10 минут.

Переведем 10 минут в часы, так как скорость дана в км/ч:

$10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$

Время, которое поезд затратил бы на 80 км с первоначальной скоростью $v$, равно $t_1 = \frac{80}{v}$ ч.

Время, которое поезд затратил на 80 км с увеличенной скоростью $(v+16)$, равно $t_2 = \frac{80}{v+16}$ ч.

Разница во времени $t_1 - t_2$ равна $\frac{1}{6}$ часа. Составим уравнение:

$\frac{80}{v} - \frac{80}{v+16} = \frac{1}{6}$

Чтобы решить уравнение, приведем левую часть к общему знаменателю $v(v+16)$:

$\frac{80(v+16) - 80v}{v(v+16)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{80v + 1280 - 80v}{v^2 + 16v} = \frac{1}{6}$

$\frac{1280}{v^2 + 16v} = \frac{1}{6}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (крест-накрест):

$1 \cdot (v^2 + 16v) = 1280 \cdot 6$

$v^2 + 16v = 7680$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 16v - 7680 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7680) = 256 + 30720 = 30976$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{30976} = 176$.

Найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_1 = \frac{-16 + 176}{2 \cdot 1} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{-16 - 176}{2 \cdot 1} = \frac{-192}{2} = -96$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -96$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, первоначальная скорость поезда была 80 км/ч.

Ответ: 80 км/ч.