Номер 24.28, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.28, страница 203.
№24.28 (с. 203)
Условие. №24.28 (с. 203)
скриншот условия
 
                                                                                                                                        24.28. Решите уравнение:
1) $x^2 + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 = 3;$
2) $\left(\frac{x-1}{x}\right)^2 + \left(\frac{x-1}{x-2}\right)^2 = \frac{40}{9};$
3) $x^2 + \frac{4x^2}{(x+2)^2} = 5.$
Решение. №24.28 (с. 203)
1) Решим уравнение $x^2 + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
Это уравнение можно решить методом выделения полного квадрата. Заметим, что выражение $x - \frac{x}{x+1}$ можно упростить:
$x - \frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1)-x}{x+1} = \frac{x^2+x-x}{x+1} = \frac{x^2}{x+1}$.
Теперь преобразуем исходное уравнение, добавив и вычтя $2 \cdot x \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{2x^2}{x+1}$:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{x}{x+1} + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{x}{x+1} = 3$
Свернем первые три слагаемых в полный квадрат:
$\left(x - \frac{x}{x+1}\right)^2 + \frac{2x^2}{x+1} = 3$
Подставим упрощенное выражение из скобок:
$\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2 + 2\left(\frac{x^2}{x+1}\right) - 3 = 0$
Сделаем замену переменной $y = \frac{x^2}{x+1}$. Уравнение примет вид:
$y^2 + 2y - 3 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.
Выполним обратную замену для каждого корня:
Случай 1: $\frac{x^2}{x+1} = 1 \implies x^2 = x+1 \implies x^2 - x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Случай 2: $\frac{x^2}{x+1} = -3 \implies x^2 = -3(x+1) \implies x^2 + 3x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = 3^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Найденные корни $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
2) Решим уравнение $\left(\frac{x-1}{x}\right)^2 + \left(\frac{x-1}{x-2}\right)^2 = \frac{40}{9}$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.
Сделаем замену $y = x-1$. Тогда $x=y+1$ и $x-2=y-1$. Уравнение преобразуется к виду:
$\left(\frac{y}{y+1}\right)^2 + \left(\frac{y}{y-1}\right)^2 = \frac{40}{9}$
$y^2 \left( \frac{1}{(y+1)^2} + \frac{1}{(y-1)^2} \right) = \frac{40}{9}$
$y^2 \left( \frac{(y-1)^2 + (y+1)^2}{(y^2-1)^2} \right) = \frac{40}{9}$
$y^2 \left( \frac{y^2-2y+1 + y^2+2y+1}{(y^2-1)^2} \right) = \frac{40}{9}$
$y^2 \left( \frac{2y^2+2}{(y^2-1)^2} \right) = \frac{40}{9} \implies \frac{y^2(y^2+1)}{(y^2-1)^2} = \frac{20}{9}$
Сделаем еще одну замену $z = y^2$ (где $z \ge 0$):
$\frac{z(z+1)}{(z-1)^2} = \frac{20}{9}$
$9z(z+1) = 20(z-1)^2 \implies 9z^2+9z = 20(z^2-2z+1) \implies 11z^2 - 49z + 20 = 0$.
Дискриминант $D = (-49)^2 - 4(11)(20) = 2401 - 880 = 1521 = 39^2$.
$z_{1} = \frac{49+39}{22} = 4$; $z_{2} = \frac{49-39}{22} = \frac{5}{11}$.
Выполним обратную замену:
Случай 1: $y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
Случай 2: $y^2 = \frac{5}{11} \implies y = \pm \sqrt{\frac{5}{11}} = \pm \frac{\sqrt{55}}{11}$.
Теперь вернемся к переменной $x=y+1$:
Из $y=2$ следует $x=3$. Из $y=-2$ следует $x=-1$.
Из $y=\frac{\sqrt{55}}{11}$ следует $x = 1+\frac{\sqrt{55}}{11}$. Из $y=-\frac{\sqrt{55}}{11}$ следует $x = 1-\frac{\sqrt{55}}{11}$.
Все четыре корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $3; -1; 1 \pm \frac{\sqrt{55}}{11}$.
3) Решим уравнение $x^2 + \frac{4x^2}{(x+2)^2} = 5$.
ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Перепишем уравнение: $x^2 + \left(\frac{2x}{x+2}\right)^2 = 5$.
Как и в первом пункте, используем метод выделения полного квадрата. Заметим, что $x - \frac{2x}{x+2} = \frac{x(x+2)-2x}{x+2} = \frac{x^2}{x+2}$. Добавим и вычтем $2 \cdot x \cdot \frac{2x}{x+2} = \frac{4x^2}{x+2}$:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{2x}{x+2} + \left(\frac{2x}{x+2}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2x}{x+2} = 5$
$\left(x - \frac{2x}{x+2}\right)^2 + \frac{4x^2}{x+2} = 5$
$\left(\frac{x^2}{x+2}\right)^2 + 4\left(\frac{x^2}{x+2}\right) - 5 = 0$
Сделаем замену переменной $y = \frac{x^2}{x+2}$. Уравнение примет вид:
$y^2 + 4y - 5 = 0$
По теореме Виета, корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -5$.
Выполним обратную замену:
Случай 1: $\frac{x^2}{x+2} = 1 \implies x^2 = x+2 \implies x^2 - x - 2 = 0$.
Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
Случай 2: $\frac{x^2}{x+2} = -5 \implies x^2 = -5(x+2) \implies x^2 + 5x + 10 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4(1)(10) = -15 < 0$. Действительных корней нет.
Найденные корни $x=2$ и $x=-1$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $2; -1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 24.28 расположенного на странице 203 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24.28 (с. 203), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    