Номер 24.28, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.28, страница 203.

Условие.

24.28. Решите уравнение:

1) $x^2 + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 = 3;$

2) $\left(\frac{x-1}{x}\right)^2 + \left(\frac{x-1}{x-2}\right)^2 = \frac{40}{9};$

3) $x^2 + \frac{4x^2}{(x+2)^2} = 5.$

Решение.

1) Решим уравнение $x^2 + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 = 3$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Это уравнение можно решить методом выделения полного квадрата. Заметим, что выражение $x - \frac{x}{x+1}$ можно упростить:

$x - \frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1)-x}{x+1} = \frac{x^2+x-x}{x+1} = \frac{x^2}{x+1}$.

Теперь преобразуем исходное уравнение, добавив и вычтя $2 \cdot x \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{2x^2}{x+1}$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{x}{x+1} + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{x}{x+1} = 3$

Свернем первые три слагаемых в полный квадрат:

$\left(x - \frac{x}{x+1}\right)^2 + \frac{2x^2}{x+1} = 3$

Подставим упрощенное выражение из скобок:

$\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2 + 2\left(\frac{x^2}{x+1}\right) - 3 = 0$

Сделаем замену переменной $y = \frac{x^2}{x+1}$. Уравнение примет вид:

$y^2 + 2y - 3 = 0$

По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

Случай 1: $\frac{x^2}{x+1} = 1 \implies x^2 = x+1 \implies x^2 - x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Случай 2: $\frac{x^2}{x+1} = -3 \implies x^2 = -3(x+1) \implies x^2 + 3x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = 3^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Найденные корни $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

2) Решим уравнение $\left(\frac{x-1}{x}\right)^2 + \left(\frac{x-1}{x-2}\right)^2 = \frac{40}{9}$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Сделаем замену $y = x-1$. Тогда $x=y+1$ и $x-2=y-1$. Уравнение преобразуется к виду:

$\left(\frac{y}{y+1}\right)^2 + \left(\frac{y}{y-1}\right)^2 = \frac{40}{9}$

$y^2 \left( \frac{1}{(y+1)^2} + \frac{1}{(y-1)^2} \right) = \frac{40}{9}$

$y^2 \left( \frac{(y-1)^2 + (y+1)^2}{(y^2-1)^2} \right) = \frac{40}{9}$

$y^2 \left( \frac{y^2-2y+1 + y^2+2y+1}{(y^2-1)^2} \right) = \frac{40}{9}$

$y^2 \left( \frac{2y^2+2}{(y^2-1)^2} \right) = \frac{40}{9} \implies \frac{y^2(y^2+1)}{(y^2-1)^2} = \frac{20}{9}$

Сделаем еще одну замену $z = y^2$ (где $z \ge 0$):

$\frac{z(z+1)}{(z-1)^2} = \frac{20}{9}$

$9z(z+1) = 20(z-1)^2 \implies 9z^2+9z = 20(z^2-2z+1) \implies 11z^2 - 49z + 20 = 0$.

Дискриминант $D = (-49)^2 - 4(11)(20) = 2401 - 880 = 1521 = 39^2$.

$z_{1} = \frac{49+39}{22} = 4$; $z_{2} = \frac{49-39}{22} = \frac{5}{11}$.

Выполним обратную замену:

Случай 1: $y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.

Случай 2: $y^2 = \frac{5}{11} \implies y = \pm \sqrt{\frac{5}{11}} = \pm \frac{\sqrt{55}}{11}$.

Теперь вернемся к переменной $x=y+1$:

Из $y=2$ следует $x=3$. Из $y=-2$ следует $x=-1$.

Из $y=\frac{\sqrt{55}}{11}$ следует $x = 1+\frac{\sqrt{55}}{11}$. Из $y=-\frac{\sqrt{55}}{11}$ следует $x = 1-\frac{\sqrt{55}}{11}$.

Все четыре корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3; -1; 1 \pm \frac{\sqrt{55}}{11}$.

3) Решим уравнение $x^2 + \frac{4x^2}{(x+2)^2} = 5$.

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Перепишем уравнение: $x^2 + \left(\frac{2x}{x+2}\right)^2 = 5$.

Как и в первом пункте, используем метод выделения полного квадрата. Заметим, что $x - \frac{2x}{x+2} = \frac{x(x+2)-2x}{x+2} = \frac{x^2}{x+2}$. Добавим и вычтем $2 \cdot x \cdot \frac{2x}{x+2} = \frac{4x^2}{x+2}$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{2x}{x+2} + \left(\frac{2x}{x+2}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2x}{x+2} = 5$

$\left(x - \frac{2x}{x+2}\right)^2 + \frac{4x^2}{x+2} = 5$

$\left(\frac{x^2}{x+2}\right)^2 + 4\left(\frac{x^2}{x+2}\right) - 5 = 0$

Сделаем замену переменной $y = \frac{x^2}{x+2}$. Уравнение примет вид:

$y^2 + 4y - 5 = 0$

По теореме Виета, корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -5$.

Выполним обратную замену:

Случай 1: $\frac{x^2}{x+2} = 1 \implies x^2 = x+2 \implies x^2 - x - 2 = 0$.
Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Случай 2: $\frac{x^2}{x+2} = -5 \implies x^2 = -5(x+2) \implies x^2 + 5x + 10 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4(1)(10) = -15 < 0$. Действительных корней нет.

Найденные корни $x=2$ и $x=-1$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; -1$.