Номер 25.1, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.1, страница 209.

Условие.

25.1. Первые 150 км дороги из города А в город В автомобиль проехал с некоторой скоростью, а остальные 240 км — со скоростью на 5 км/ч большей. Найдите первоначальную скорость автомобиля, если на весь путь из города А в город В он потратил 5 ч.

Решение.

25.1. Пусть первоначальная скорость автомобиля равна $v$ км/ч. Тогда на втором участке пути его скорость была $(v + 5)$ км/ч.

Время, которое автомобиль затратил на первый участок пути (150 км), составляет $t_1 = \frac{150}{v}$ часов.

Время, которое автомобиль затратил на второй участок пути (240 км), составляет $t_2 = \frac{240}{v+5}$ часов.

Общее время в пути составляет 5 часов. Мы можем составить уравнение, сложив время, потраченное на каждый участок:

$t_1 + t_2 = 5$

$\frac{150}{v} + \frac{240}{v+5} = 5$

Для решения этого уравнения необходимо учесть, что скорость $v$ должна быть положительной, то есть $v > 0$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v+5)$:

$\frac{150(v+5) + 240v}{v(v+5)} = 5$

Умножим обе части уравнения на $v(v+5)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$150(v+5) + 240v = 5v(v+5)$

Раскроем скобки:

$150v + 750 + 240v = 5v^2 + 25v$

Соберем все слагаемые в одной части уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5v^2 + 25v - 150v - 240v - 750 = 0$

$5v^2 - 365v - 750 = 0$

Разделим все члены уравнения на 5 для упрощения:

$v^2 - 73v - 150 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-73)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 5329 + 600 = 5929$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{73 + \sqrt{5929}}{2 \cdot 1} = \frac{73 + 77}{2} = \frac{150}{2} = 75$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{73 - \sqrt{5929}}{2 \cdot 1} = \frac{73 - 77}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -2$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость автомобиля составляет 75 км/ч.

Проверка:
Время на первом участке: $\frac{150 \text{ км}}{75 \text{ км/ч}} = 2$ ч.
Скорость на втором участке: $75 + 5 = 80$ км/ч.
Время на втором участке: $\frac{240 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 3$ ч.
Общее время: $2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5$ ч.
Решение верно.

Ответ: 75 км/ч.