Номер 24.25, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.25, страница 203.

Условие.

24.25. Решите уравнение:

1) $\frac{4x}{4x^2 - 8x + 7} + \frac{3x}{4x^2 - 10x + 7} = 1;$

2) $\frac{x^2 - 3x + 1}{x} + \frac{2x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{7}{2}.$

Решение.

1) Исходное уравнение: $\frac{4x}{4x^2 - 8x + 7} + \frac{3x}{4x^2 - 10x + 7} = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю.

Для первого знаменателя $4x^2 - 8x + 7 = 0$ найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 64 - 112 = -48 < 0$. Так как старший коэффициент ($4$) положителен, а дискриминант отрицателен, выражение $4x^2 - 8x + 7$ всегда больше нуля.

Для второго знаменателя $4x^2 - 10x + 7 = 0$ найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 100 - 112 = -12 < 0$. Этот знаменатель также всегда больше нуля.

Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке получим $0=1$, что неверно. Поэтому мы можем разделить числитель и знаменатель каждой дроби на $x$ (при $x \neq 0$):

$\frac{4}{4x - 8 + \frac{7}{x}} + \frac{3}{4x - 10 + \frac{7}{x}} = 1$.

Введем замену: пусть $y = 4x + \frac{7}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{4}{y - 8} + \frac{3}{y - 10} = 1$.

Решим это уравнение относительно $y$, учитывая, что $y \neq 8$ и $y \neq 10$. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{4(y - 10) + 3(y - 8)}{(y - 8)(y - 10)} = 1$

$4y - 40 + 3y - 24 = (y - 8)(y - 10)$

$7y - 64 = y^2 - 18y + 80$

$y^2 - 25y + 144 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = 9$ и $y_2 = 16$. Оба корня удовлетворяют условиям $y \neq 8$ и $y \neq 10$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = 9$.

$4x + \frac{7}{x} = 9$

$4x^2 - 9x + 7 = 0$.

Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 - 112 = -31 < 0$. В этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $y = 16$.

$4x + \frac{7}{x} = 16$

$4x^2 - 16x + 7 = 0$.

Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 256 - 112 = 144 = 12^2$.

$x_{1,2} = \frac{16 \pm 12}{2 \cdot 4} = \frac{16 \pm 12}{8}$.

$x_1 = \frac{16 + 12}{8} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$.

$x_2 = \frac{16 - 12}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}; \frac{7}{2}$.

2) Исходное уравнение: $\frac{x^2 - 3x + 1}{x} + \frac{2x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{7}{2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не равны нулю, т.е. $x \neq 0$ и $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

Преобразуем первое слагаемое, выделив в числителе выражение $(x-1)^2$:

$\frac{x^2 - 3x + 1}{x} = \frac{(x^2 - 2x + 1) - x}{x} = \frac{(x-1)^2}{x} - \frac{x}{x} = \frac{(x-1)^2}{x} - 1$.

Подставим преобразованное выражение в исходное уравнение:

$\left(\frac{(x-1)^2}{x} - 1\right) + \frac{2x}{(x-1)^2} = \frac{7}{2}$.

Введем замену: пусть $y = \frac{(x-1)^2}{x}$. Тогда $\frac{2x}{(x-1)^2} = \frac{2}{y}$. Уравнение примет вид:

$y - 1 + \frac{2}{y} = \frac{7}{2}$.

Решим это уравнение относительно $y$ (при $y \neq 0$).

$y + \frac{2}{y} = \frac{7}{2} + 1 \implies y + \frac{2}{y} = \frac{9}{2}$.

Умножим обе части на $2y$, чтобы избавиться от знаменателей:

$2y^2 + 4 = 9y$

$2y^2 - 9y + 4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.

$y_{1,2} = \frac{9 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 7}{4}$.

$y_1 = \frac{9 + 7}{4} = 4$.

$y_2 = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = 4$.

$\frac{(x-1)^2}{x} = 4$

$x^2 - 2x + 1 = 4x$

$x^2 - 6x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$.

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.

Случай 2: $y = \frac{1}{2}$.

$\frac{(x-1)^2}{x} = \frac{1}{2}$

$2(x-1)^2 = x$

$2(x^2 - 2x + 1) = x$

$2x^2 - 4x + 2 = x$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$x_{3,4} = \frac{5 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$x_3 = \frac{5+3}{4} = 2$.

$x_4 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$.

Все четыре найденных корня ($3 + 2\sqrt{2}$, $3 - 2\sqrt{2}$, $2$, $\frac{1}{2}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3 \pm 2\sqrt{2}; 2; \frac{1}{2}$.