Номер 24.26, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.26, страница 203.

Условие.

24.26. Решите уравнение:

$1) \frac{3x}{x^2+1-4x} - \frac{2x}{x^2+1+x} = \frac{8}{3};$

$2) \frac{x^2+5x+4}{x^2-7x+4} + \frac{x^2-x+4}{x^2+x+4} + \frac{13}{3} = 0.$

Решение.

1)

Исходное уравнение: $\frac{3x}{x^2 + 1 - 4x} - \frac{2x}{x^2 + 1 + x} = \frac{8}{3}$

Перепишем знаменатели в стандартном виде:

$\frac{3x}{x^2 - 4x + 1} - \frac{2x}{x^2 + x + 1} = \frac{8}{3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x^2 - 4x + 1 \neq 0$ и $x^2 + x + 1 \neq 0$.

Для $x^2 + x + 1 = 0$ дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, следовательно, этот знаменатель никогда не равен нулю.

Проверим, является ли $x=0$ корнем уравнения. Подстановка $x=0$ дает $\frac{0}{1} - \frac{0}{1} = 0$, что не равно $\frac{8}{3}$. Значит, $x \neq 0$.

Поскольку $x \neq 0$, мы можем разделить числитель и знаменатель каждой дроби на $x$:

$\frac{\frac{3x}{x}}{\frac{x^2 - 4x + 1}{x}} - \frac{\frac{2x}{x}}{\frac{x^2 + x + 1}{x}} = \frac{8}{3}$

$\frac{3}{x - 4 + \frac{1}{x}} - \frac{2}{x + 1 + \frac{1}{x}} = \frac{8}{3}$

Введем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{3}{y - 4} - \frac{2}{y + 1} = \frac{8}{3}$

Решим это уравнение относительно $y$, учитывая, что $y \neq 4$ и $y \neq -1$.

Приведем дроби к общему знаменателю $3(y - 4)(y + 1)$:

$3 \cdot 3(y + 1) - 2 \cdot 3(y - 4) = 8(y - 4)(y + 1)$

$9(y + 1) - 6(y - 4) = 8(y^2 + y - 4y - 4)$

$9y + 9 - 6y + 24 = 8(y^2 - 3y - 4)$

$3y + 33 = 8y^2 - 24y - 32$

$8y^2 - 27y - 65 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-65) = 729 + 2080 = 2809 = 53^2$.

$y_1 = \frac{27 + 53}{2 \cdot 8} = \frac{80}{16} = 5$

$y_2 = \frac{27 - 53}{16} = \frac{-26}{16} = -\frac{13}{8}$

Оба значения $y$ удовлетворяют условиям $y \neq 4$ и $y \neq -1$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = 5$

$x + \frac{1}{x} = 5$

$x^2 - 5x + 1 = 0$

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$

Случай 2: $y = -\frac{13}{8}$

$x + \frac{1}{x} = -\frac{13}{8}$

$8x^2 + 13x + 8 = 0$

$D = 13^2 - 4 \cdot 8 \cdot 8 = 169 - 256 = -87 < 0$. В этом случае действительных корней нет.

Корни $x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ удовлетворяют ОДЗ, так как $x^2 - 5x + 1 = 0$, а знаменатель $x^2 - 4x + 1$ обращается в ноль при других значениях $x$.

Ответ: $\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$

2)

Исходное уравнение: $\frac{x^2+5x+4}{x^2-7x+4} + \frac{x^2-x+4}{x^2+x+4} + \frac{13}{3} = 0$

ОДЗ: $x^2-7x+4 \neq 0$ и $x^2+x+4 \neq 0$.

Для $x^2+x+4 = 0$ дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -15 < 0$, поэтому этот знаменатель никогда не равен нулю.

Проверим $x=0$: $\frac{4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{13}{3} = 1 + 1 + \frac{13}{3} \neq 0$. Значит, $x \neq 0$.

Поскольку $x \neq 0$, разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $x$:

$\frac{x+5+\frac{4}{x}}{x-7+\frac{4}{x}} + \frac{x-1+\frac{4}{x}}{x+1+\frac{4}{x}} + \frac{13}{3} = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{4}{x}$. Уравнение примет вид:

$\frac{y+5}{y-7} + \frac{y-1}{y+1} + \frac{13}{3} = 0$

Решим это уравнение относительно $y$, где $y \neq 7$ и $y \neq -1$.

Приведем к общему знаменателю $3(y - 7)(y + 1)$:

$3(y+5)(y+1) + 3(y-1)(y-7) + 13(y-7)(y+1) = 0$

$3(y^2+6y+5) + 3(y^2-8y+7) + 13(y^2-6y-7) = 0$

$3y^2+18y+15 + 3y^2-24y+21 + 13y^2-78y-91 = 0$

$(3+3+13)y^2 + (18-24-78)y + (15+21-91) = 0$

$19y^2 - 84y - 55 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-84)^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-55) = 7056 + 4180 = 11236 = 106^2$.

$y_1 = \frac{84 + 106}{2 \cdot 19} = \frac{190}{38} = 5$

$y_2 = \frac{84 - 106}{38} = \frac{-22}{38} = -\frac{11}{19}$

Оба значения $y$ допустимы.

Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = 5$

$x + \frac{4}{x} = 5$

$x^2 + 4 = 5x$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Случай 2: $y = -\frac{11}{19}$

$x + \frac{4}{x} = -\frac{11}{19}$

$19x^2 + 76 = -11x$

$19x^2 + 11x + 76 = 0$

$D = 11^2 - 4 \cdot 19 \cdot 76 = 121 - 5776 < 0$. Действительных корней нет.

Проверим найденные корни $x=1$ и $x=4$ на соответствие ОДЗ ($x^2-7x+4 \neq 0$).

При $x=1$: $1^2 - 7(1) + 4 = 1 - 7 + 4 = -2 \neq 0$.

При $x=4$: $4^2 - 7(4) + 4 = 16 - 28 + 4 = -8 \neq 0$.

Оба корня подходят.

Ответ: 1; 4