Номер 25.2, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.2, страница 209.

Условие.

25.2. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно автобус и автомобиль. Автобус двигался со скоростью на 20 км/ч меньшей, чем автомобиль, и прибыл в пункт назначения на 1 ч позже автомобиля. Найдите скорость автомобиля и скорость автобуса.

Решение.

Пусть скорость автомобиля равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость автобуса на 20 км/ч меньше, следовательно, она равна $(x - 20)$ км/ч.

Расстояние, которое они проехали, составляет 240 км.

Время, которое затратил автомобиль на весь путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$:
$t_{автомобиля} = \frac{240}{x}$ ч.

Время, которое затратил автобус на тот же путь:
$t_{автобуса} = \frac{240}{x - 20}$ ч.

Известно, что автобус прибыл в пункт назначения на 1 час позже автомобиля. Это значит, что время в пути у автобуса было на 1 час больше, чем у автомобиля. На основе этого составим уравнение:
$t_{автобуса} - t_{автомобиля} = 1$
$\frac{240}{x - 20} - \frac{240}{x} = 1$

Для решения уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю, поэтому $x \ne 0$ и $x \ne 20$. Также, так как скорость автобуса $(x - 20)$ должна быть положительной, $x > 20$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x - 20)$:
$\frac{240x - 240(x - 20)}{x(x - 20)} = 1$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{240x - 240x + 4800}{x^2 - 20x} = 1$
$\frac{4800}{x^2 - 20x} = 1$

Избавимся от дроби, умножив обе части на знаменатель:
$4800 = x^2 - 20x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 20x - 4800 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{20 + \sqrt{19600}}{2} = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80$
$x_2 = \frac{20 - \sqrt{19600}}{2} = \frac{20 - 140}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Корень $x_2 = -60$ не подходит, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, скорость автомобиля равна 80 км/ч.

Теперь найдем скорость автобуса:
$v_{автобуса} = x - 20 = 80 - 20 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость автомобиля 80 км/ч, скорость автобуса 60 км/ч.