Номер 25.7, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.7, страница 210.

Условие.

25.7. Первый насос перекачивает $90\text{ м}^3$ воды на $1\text{ ч}$ быстрее, чем второй $100\text{ м}^3$. Сколько воды за $1\text{ ч}$ перекачивает каждый насос, если первый перекачивает за $1\text{ ч}$ на $5\text{ м}^3$ воды больше, чем второй?

Решение.

Пусть $x$ м³/ч — производительность второго насоса (объем воды, который он перекачивает за 1 час).

Согласно условию, первый насос перекачивает за 1 час на 5 м³ воды больше, чем второй. Следовательно, производительность первого насоса составляет $(x + 5)$ м³/ч.

Время, за которое первый насос перекачает 90 м³ воды, равно $t_1 = \frac{90}{x+5}$ ч.

Время, за которое второй насос перекачает 100 м³ воды, равно $t_2 = \frac{100}{x}$ ч.

Из условия задачи известно, что первый насос выполняет свою работу на 1 час быстрее, чем второй. Это означает, что время работы первого насоса на 1 час меньше времени работы второго, то есть $t_2 - t_1 = 1$. Составим и решим уравнение:

$\frac{100}{x} - \frac{90}{x+5} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$. Учтем, что по смыслу задачи производительность $x$ должна быть положительной, то есть $x > 0$.

$\frac{100(x+5) - 90x}{x(x+5)} = 1$

Так как $x > 0$, то знаменатель $x(x+5)$ не равен нулю. Можем умножить обе части уравнения на него:

$100(x+5) - 90x = x(x+5)$

Раскроем скобки:

$100x + 500 - 90x = x^2 + 5x$

Приведем подобные слагаемые:

$10x + 500 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 10x - 500 = 0$

$x^2 - 5x - 500 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 25 + 2000 = 2025$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{2025} = 45$

$x_1 = \frac{5 + 45}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$x_2 = \frac{5 - 45}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Корень $x_2 = -20$ не удовлетворяет условию задачи, так как производительность насоса не может быть отрицательной величиной. Следовательно, производительность второго насоса составляет 25 м³/ч.

Теперь найдем производительность первого насоса:

$x + 5 = 25 + 5 = 30$ м³/ч.

Ответ: первый насос перекачивает 30 м³/ч, а второй насос — 25 м³/ч.