Номер 25.14, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.14, страница 211.

Условие.

25.14. Междугородный автобус должен был проехать 72 км. После того как он проехал 24 км, его задержали на железнодорожном переезде на 12 мин. Потом он увеличил скорость на 12 км/ч и прибыл в пункт назначения с опозданием на 4 мин. Найдите первоначальную скорость автобуса.

Решение.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автобуса.

Весь путь составляет 72 км. Первую часть пути, равную 24 км, автобус проехал с первоначальной скоростью $v$.

Оставшаяся часть пути составляет $72 - 24 = 48$ км. Эту часть пути автобус ехал со скоростью $(v + 12)$ км/ч.

Задержка на железнодорожном переезде составила 12 минут. В пункт назначения автобус прибыл с опозданием на 4 минуты. Это означает, что за счет увеличения скорости на оставшемся участке пути автобус смог наверстать $12 - 4 = 8$ минут.

Переведем 8 минут в часы: $8 \text{ мин} = \frac{8}{60} \text{ ч} = \frac{2}{15} \text{ ч}$.

Время, которое автобус должен был потратить на оставшиеся 48 км с первоначальной скоростью, равно $\frac{48}{v}$ ч.

Время, которое автобус фактически потратил на оставшиеся 48 км с увеличенной скоростью, равно $\frac{48}{v+12}$ ч.

Разница между плановым и фактическим временем прохождения второго участка как раз составляет сэкономленные 8 минут. Составим и решим уравнение:

$\frac{48}{v} - \frac{48}{v+12} = \frac{2}{15}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{48(v+12) - 48v}{v(v+12)} = \frac{2}{15}$

$\frac{48v + 576 - 48v}{v^2 + 12v} = \frac{2}{15}$

$\frac{576}{v^2 + 12v} = \frac{2}{15}$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$2(v^2 + 12v) = 576 \cdot 15$

$2v^2 + 24v = 8640$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v^2 + 12v - 4320 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4320) = 144 + 17280 = 17424$

$\sqrt{D} = \sqrt{17424} = 132$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 132}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 132}{2} = \frac{-144}{2} = -72$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -72$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная скорость автобуса составляла 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.