Номер 25.17, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.17, страница 211.

Условие.

25.17. Теплоход прошёл 16 км по озеру, а затем 18 км по реке, берущей начало из этого озера, за 1 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 4 км/ч.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость теплохода в стоячей воде.

Скорость теплохода при движении по озеру (в стоячей воде) равна $x$ км/ч. Время, затраченное на путь в 16 км по озеру, составляет $t_1 = \frac{16}{x}$ ч.

Река вытекает из озера, следовательно, теплоход двигался по течению. Его скорость по реке равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_2 = (x + 4)$ км/ч. Время, затраченное на путь в 18 км по реке, составляет $t_2 = \frac{18}{x+4}$ ч.

По условию, общее время в пути равно 1 часу. Составим уравнение, сложив время движения по озеру и по реке:

$t_1 + t_2 = 1$

$\frac{16}{x} + \frac{18}{x+4} = 1$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x+4)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, учитывая, что скорость $x$ должна быть положительной ($x>0$):

$16(x+4) + 18x = x(x+4)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$16x + 64 + 18x = x^2 + 4x$

$34x + 64 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 34x - 64 = 0$

$x^2 - 30x - 64 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней уравнения равна 30, а их произведение равно -64. Подбором находим корни:

$x_1 = 32$

$x_2 = -2$

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной величиной. Следовательно, единственным решением является $x=32$.

Таким образом, скорость теплохода в стоячей воде составляет 32 км/ч.

Ответ: 32 км/ч.