Номер 25.23, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.23, страница 211.

Условие.

25.23. В раствор, содержавший 20 г соли, добавили 100 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10 %. Сколько граммов воды первоначально содержал раствор?

Решение.

Пусть $x$ г — масса воды в первоначальном растворе.

Масса соли в растворе постоянна и составляет 20 г.

Масса первоначального раствора: $m_1 = (x + 20)$ г.

Первоначальная концентрация соли (массовая доля в процентах): $C_1 = \frac{20}{x + 20} \cdot 100\%$.

После добавления 100 г воды масса нового раствора стала: $m_2 = (x + 20) + 100 = (x + 120)$ г.

Концентрация соли в новом растворе: $C_2 = \frac{20}{x + 120} \cdot 100\%$.

По условию, концентрация уменьшилась на 10%. Это означает, что разница между начальной и конечной концентрациями составляет 10 процентных пунктов.

$C_1 - C_2 = 10\%$

Составим и решим уравнение, подставив выражения для концентраций:

$\frac{20}{x + 20} \cdot 100 - \frac{20}{x + 120} \cdot 100 = 10$

Разделим обе части уравнения на 10:

$\frac{200}{x + 20} - \frac{200}{x + 120} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x + 20)(x + 120)$:

$\frac{200(x + 120) - 200(x + 20)}{(x + 20)(x + 120)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{200x + 24000 - 200x - 4000}{(x + 20)(x + 120)} = 1$

$\frac{20000}{(x + 20)(x + 120)} = 1$

Так как дробь равна 1, ее числитель равен знаменателю (при условии, что $x \neq -20$ и $x \neq -120$, что верно, так как масса не может быть отрицательной):

$(x + 20)(x + 120) = 20000$

$x^2 + 120x + 20x + 2400 = 20000$

$x^2 + 140x + 2400 - 20000 = 0$

$x^2 + 140x - 17600 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 140^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17600) = 19600 + 70400 = 90000$

$\sqrt{D} = \sqrt{90000} = 300$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-140 + 300}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-140 - 300}{2} = \frac{-440}{2} = -220$

Поскольку $x$ — это масса воды, она не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -220$ не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, первоначальное количество воды в растворе составляло 80 г.

Проверка:
Начальная концентрация: $\frac{20}{20 + 80} \cdot 100\% = \frac{20}{100} \cdot 100\% = 20\%$.
Конечная концентрация: $\frac{20}{20 + 80 + 100} \cdot 100\% = \frac{20}{200} \cdot 100\% = 10\%$.
Уменьшение концентрации: $20\% - 10\% = 10\%$.
Условие задачи выполняется, решение верное.

Ответ: 80.