Номер 25.27, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.27, страница 212.

Условие.

25.27. Для наполнения бассейна через первую трубу требуется столько же времени, как и для наполнения через вторую и третью трубы одновременно. Через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч быстрее, чем через вторую, и на 8 ч быстрее, чем через третью. Сколько времени требуется для наполнения бассейна через каждую трубу?

Решение.

Пусть $t_1$, $t_2$ и $t_3$ — время в часах, за которое бассейн наполняют первая, вторая и третья трубы, работая по отдельности.

Производительность (скорость работы) каждой трубы — это часть бассейна, наполняемая за час. Она обратно пропорциональна времени наполнения:

$p_1 = 1/t_1$

$p_2 = 1/t_2$

$p_3 = 1/t_3$

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Время наполнения через первую трубу равно времени наполнения через вторую и третью трубы вместе. Совместная производительность второй и третьей труб равна $p_2 + p_3$. Время их совместной работы равно $1/(p_2 + p_3)$. Следовательно:

$t_1 = 1 / (p_2 + p_3)$

Переписав это уравнение через производительности, получим $1/p_1 = 1 / (p_2 + p_3)$, откуда $p_1 = p_2 + p_3$. Выразим это через время:

$1/t_1 = 1/t_2 + 1/t_3$

2. Первая труба наполняет бассейн на 2 часа быстрее второй:

$t_1 = t_2 - 2 \Rightarrow t_2 = t_1 + 2$

3. Первая труба наполняет бассейн на 8 часов быстрее третьей:

$t_1 = t_3 - 8 \Rightarrow t_3 = t_1 + 8$

Подставим выражения для $t_2$ и $t_3$ в первое уравнение. Обозначим $t_1 = x$. Тогда $t_2 = x + 2$ и $t_3 = x + 8$. Учтем, что время $x$ должно быть положительным ($x > 0$).

$1/x = 1/(x+2) + 1/(x+8)$

Для решения уравнения приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(x+2)(x+8)$:

$1/x = \frac{(x+8) + (x+2)}{(x+2)(x+8)}$

$1/x = \frac{2x + 10}{x^2 + 10x + 16}$

Применим свойство пропорции (перекрестное умножение):

$1 \cdot (x^2 + 10x + 16) = x \cdot (2x + 10)$

$x^2 + 10x + 16 = 2x^2 + 10x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 - x^2 + 10x - 10x - 16 = 0$

$x^2 - 16 = 0$

$x^2 = 16$

Получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Поскольку время ($x = t_1$) не может быть отрицательным, единственное подходящее решение — $x=4$.

Теперь найдем время для каждой из труб:

Время для первой трубы: $t_1 = x = 4$ часа.

Время для второй трубы: $t_2 = x + 2 = 4 + 2 = 6$ часов.

Время для третьей трубы: $t_3 = x + 8 = 4 + 8 = 12$ часов.

Ответ: для наполнения бассейна через первую трубу требуется 4 часа, через вторую — 6 часов, а через третью — 12 часов.