Номер 25.24, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.24, страница 212.

Условие.

25.24. Кусок сплава меди и цинка, содержавший 10 кг цинка, сплавили с 10 кг меди. Полученный сплав содержит на $5\%$ меди больше, чем исходный. Сколько килограммов меди содержал исходный кусок сплава?

Решение.

Пусть в исходном куске сплава содержалось $x$ кг меди. Поскольку цинка в нем было 10 кг, то общая масса исходного сплава составляла $(x + 10)$ кг.

Процентное содержание меди в исходном сплаве равно:

$P_1 = \frac{x}{x + 10} \cdot 100\%$

К этому сплаву добавили 10 кг меди. Масса меди в новом сплаве стала $(x + 10)$ кг, а общая масса нового сплава стала $(x + 10) + 10 = (x + 20)$ кг.

Процентное содержание меди в полученном сплаве равно:

$P_2 = \frac{x + 10}{x + 20} \cdot 100\%$

По условию, процентное содержание меди в полученном сплаве на 5% больше, чем в исходном. Это означает, что разница в процентных долях составляет 5%. Составим уравнение:

$P_2 - P_1 = 5$

$\frac{x + 10}{x + 20} \cdot 100 - \frac{x}{x + 10} \cdot 100 = 5$

Разделим обе части уравнения на 5:

$20 \left( \frac{x + 10}{x + 20} - \frac{x}{x + 10} \right) = 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$20 \left( \frac{(x + 10)^2 - x(x + 20)}{(x + 20)(x + 10)} \right) = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$20 \left( \frac{x^2 + 20x + 100 - x^2 - 20x}{x^2 + 30x + 200} \right) = 1$

Упростим числитель:

$20 \cdot \frac{100}{x^2 + 30x + 200} = 1$

$\frac{2000}{x^2 + 30x + 200} = 1$

Отсюда следует:

$x^2 + 30x + 200 = 2000$

$x^2 + 30x - 1800 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 900 + 7200 = 8100$

$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-30 + 90}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-30 - 90}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку масса не может быть отрицательной, корень $x_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, масса меди в исходном куске сплава составляла 30 кг.

Ответ: 30