Номер 25.30, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.30, страница 212.

Условие.

25.30. Решите неравенство $(x + 1)^2(x - 2) \geq 0$.

Решение.

Для решения неравенства $(x+1)^2(x-2) \ge 0$ применим метод интервалов или проанализируем знаки множителей.

1. Найдем корни уравнения $(x+1)^2(x-2) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$(x+1)^2 = 0$ или $x-2 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x+1=0$, откуда $x_1 = -1$. Это корень кратности 2 (четная кратность).

Из второго уравнения получаем $x_2 = 2$. Это корень кратности 1 (нечетная кратность).

2. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ее на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

3. Определим знак выражения на каждом интервале. Можно также проанализировать множители. Множитель $(x+1)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x+1)^2 \ge 0$ для любого $x$. Он равен нулю при $x=-1$. Следовательно, знак всего произведения для $x \neq -1$ определяется знаком множителя $(x-2)$.

• Если $x > 2$, то $x-2 > 0$. Тогда $(x+1)^2(x-2) > 0$. Этот интервал $(2; +\infty)$ подходит.

• Если $x < 2$ (и $x \neq -1$), то $x-2 < 0$. Тогда $(x+1)^2(x-2) < 0$. Интервалы $(-\infty; -1)$ и $(-1; 2)$ не подходят.

4. Учтем условие равенства нулю. Неравенство является нестрогим ($\ge$), поэтому нужно включить в решение точки, где выражение равно нулю. Это происходит при $x=-1$ и $x=2$.

5. Объединим полученные результаты. Решением являются точка $x=-1$ и промежуток $[2; +\infty)$.

Таким образом, множество решений неравенства — это объединение изолированной точки и числового луча.

Ответ: $\{-1\} \cup [2; +\infty)$.