Номер 25.28, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.28, страница 212.

Условие.

25.28. Автобус должен был проехать расстояние между двумя городами, равное 400 км, с некоторой скоростью. Проехав 2 ч с запланированной скоростью, он остановился на 20 мин и, чтобы прибыть в пункт назначения вовремя, увеличил скорость движения на 10 км/ч. С какой скоростью автобус должен был проехать расстояние между городами?

Решение.

Пусть $v$ км/ч — запланированная (первоначальная) скорость автобуса. Общее расстояние, которое должен был проехать автобус, составляет 400 км. Тогда запланированное время на весь путь равно $T = \frac{400}{v}$ часов.

Автобус ехал 2 часа с запланированной скоростью $v$. За это время он проехал расстояние $S_1 = 2 \cdot v$ км. После этого ему осталось проехать $S_2 = 400 - 2v$ км.

Затем автобус остановился на 20 минут. Переведем это время в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3}$ ч.

Чтобы прибыть вовремя, на оставшемся участке пути автобус увеличил скорость на 10 км/ч, то есть его новая скорость стала $v + 10$ км/ч. Время, которое он затратил на оставшийся путь, равно $t_2 = \frac{400 - 2v}{v + 10}$ часов.

Общее время, фактически затраченное на поездку, состоит из времени движения на первом участке, времени остановки и времени движения на втором участке. По условию, это время равно запланированному. Составим уравнение:

$2 + \frac{1}{3} + \frac{400 - 2v}{v + 10} = \frac{400}{v}$

Решим это уравнение. Сначала упростим левую часть:

$\frac{7}{3} + \frac{400 - 2v}{v + 10} = \frac{400}{v}$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону:

$\frac{400}{v} - \frac{400 - 2v}{v + 10} = \frac{7}{3}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 10)$:

$\frac{400(v + 10) - v(400 - 2v)}{v(v + 10)} = \frac{7}{3}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{400v + 4000 - 400v + 2v^2}{v^2 + 10v} = \frac{7}{3}$

$\frac{2v^2 + 4000}{v^2 + 10v} = \frac{7}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$3(2v^2 + 4000) = 7(v^2 + 10v)$

$6v^2 + 12000 = 7v^2 + 70v$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$7v^2 - 6v^2 + 70v - 12000 = 0$

$v^2 + 70v - 12000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 70^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12000) = 4900 + 48000 = 52900$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-70 + \sqrt{52900}}{2 \cdot 1} = \frac{-70 + 230}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-70 - \sqrt{52900}}{2 \cdot 1} = \frac{-70 - 230}{2} = \frac{-300}{2} = -150$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -150$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, запланированная скорость автобуса равна 80 км/ч.

Ответ: 80 км/ч.