Номер 25.22, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.22, страница 211.

Условие.

25.22. В первый день тракторист работал на вспашке поля 6 ч. На следующий день к нему присоединился второй тракторист, и через 8 ч совместной работы они вспахали всё поле. За какое время может вспахать это поле каждый тракторист, работая самостоятельно, если первому для этого надо на 3 ч меньше, чем второму?

Решение.

Пусть время, за которое первый тракторист может вспахать поле самостоятельно, равно $x$ часов. Согласно условию, первому трактористу для этого требуется на 3 часа меньше, чем второму, следовательно, время второго тракториста составляет $x + 3$ часов. Примем всю работу по вспашке поля за 1.

Тогда производительность (скорость работы) первого тракториста равна $\frac{1}{x}$ поля в час, а производительность второго — $\frac{1}{x+3}$ поля в час.

В первый день первый тракторист работал один 6 часов и выполнил часть работы, равную $6 \cdot \frac{1}{x} = \frac{6}{x}$.

На следующий день они работали вместе 8 часов. Их совместная производительность составляет $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}$. За 8 часов они выполнили часть работы, равную $8 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}\right)$.

Поскольку за это время они вспахали всё поле, можно составить уравнение:

$\frac{6}{x} + 8 \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}\right) = 1$

Решим это уравнение. Сначала приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{x+3+x}{x(x+3)} = \frac{2x+3}{x(x+3)}$

Подставим это в исходное уравнение:

$\frac{6}{x} + \frac{8(2x+3)}{x(x+3)} = 1$

Приведём левую часть к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{6(x+3) + 8(2x+3)}{x(x+3)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6x + 18 + 16x + 24}{x^2 + 3x} = 1$

$\frac{22x + 42}{x^2 + 3x} = 1$

Умножим обе части уравнения на $x^2 + 3x$ (при условии $x > 0$):

$22x + 42 = x^2 + 3x$

Перенесём все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 22x - 42 = 0$

$x^2 - 19x - 42 = 0$

Найдём корни уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 361 + 168 = 529$

$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$

$x_1 = \frac{19 + 23}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{19 - 23}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть отрицательным. Следовательно, время, за которое первый тракторист может вспахать поле, равно 21 час.

Время, за которое второй тракторист может вспахать поле, равно $x + 3 = 21 + 3 = 24$ часа.

Ответ: первый тракторист может вспахать поле за 21 час, а второй — за 24 часа.