Номер 25.15, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.15, страница 211.

Условие.

25.15. Группа школьников выехала на экскурсию из города А в город В на автобусе, а вернулась в город А по железной дороге, затратив на обратный путь на 30 мин больше, чем на путь в город В. Найдите скорость поезда, если она на 20 км/ч меньше скорости автобуса, длина шоссе между городами А и В составляет 160 км, а длина железной дороги — 150 км.

Решение.

Пусть скорость поезда равна $x$ км/ч. Согласно условию задачи, скорость поезда на 20 км/ч меньше скорости автобуса, следовательно, скорость автобуса равна $(x + 20)$ км/ч.

Длина шоссе составляет 160 км. Время, которое школьники затратили на путь в город В на автобусе, можно выразить формулой:
$t_{автобус} = \frac{S_{шоссе}}{v_{автобус}} = \frac{160}{x + 20}$ часов.

Длина железной дороги составляет 150 км. Время, которое школьники затратили на обратный путь в город А на поезде, можно выразить формулой:
$t_{поезд} = \frac{S_{ж/д}}{v_{поезд}} = \frac{150}{x}$ часов.

Известно, что на обратный путь было затрачено на 30 минут больше. Переведем 30 минут в часы: 30 мин = 0,5 часа.
Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разницу во времени к 0,5 часа:
$t_{поезд} - t_{автобус} = 0.5$
$\frac{150}{x} - \frac{160}{x + 20} = 0.5$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x + 20)$ и умножим обе части на него, учитывая, что $x > 0$:
$150(x + 20) - 160x = 0.5x(x + 20)$
$150x + 3000 - 160x = 0.5x^2 + 10x$
$3000 - 10x = 0.5x^2 + 10x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:
$0.5x^2 + 10x + 10x - 3000 = 0$
$0.5x^2 + 20x - 3000 = 0$
Умножим уравнение на 2 для удобства вычислений:
$x^2 + 40x - 6000 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6000) = 1600 + 24000 = 25600$
$\sqrt{D} = \sqrt{25600} = 160$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 + 160}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 - 160}{2 \cdot 1} = \frac{-200}{2} = -100$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -100$ не является решением задачи. Следовательно, скорость поезда $x$ равна 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.