Номер 25.11, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.11, страница 210.

Условие.

25.11. По течению реки от пристани отплыл плот. Через $4 \text{ ч}$ от этой пристани в том же направлении отчалила лодка, догнавшая плот на расстоянии $15 \text{ км}$ от пристани. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки составляет $12 \text{ км/ч}$.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Скорость плота равна скорости течения, то есть $v_{плота} = x$ км/ч. Собственная скорость лодки составляет 12 км/ч, значит, её скорость по течению реки равна $v_{лодки} = (12 + x)$ км/ч.

Оба объекта прошли расстояние $S = 15$ км до места встречи. Выразим время, затраченное каждым из них:

Время движения плота: $t_{плота} = \frac{S}{v_{плота}} = \frac{15}{x}$ ч.

Время движения лодки: $t_{лодки} = \frac{S}{v_{лодки}} = \frac{15}{12+x}$ ч.

Из условия известно, что лодка вышла на 4 часа позже плота. Следовательно, время движения плота было на 4 часа больше времени движения лодки. На основе этого составим уравнение:

$t_{плота} - t_{лодки} = 4$

$\frac{15}{x} - \frac{15}{12+x} = 4$

Для решения уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $x(12+x)$, при условии что $x > 0$ (так как скорость течения является положительной величиной):

$15(12+x) - 15x = 4x(12+x)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$180 + 15x - 15x = 48x + 4x^2$

$180 = 48x + 4x^2$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$4x^2 + 48x - 180 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:

$x^2 + 12x - 45 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 144 + 180 = 324$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-12 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 18}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-12 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - 18}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Корень $x_2 = -15$ не имеет физического смысла, так как скорость течения не может быть отрицательной. Следовательно, единственное подходящее решение — $x = 3$.

Таким образом, скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.