Номер 25.13, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.13, страница 210.

Условие.

25.13. Турист проплыл $\frac{5}{8}$ всего пути на катере, а остальную часть проехал на автомобиле. Скорость автомобиля на 20 км/ч больше скорости катера. На автомобиле он ехал на 1 ч 30 мин меньше, чем плыл на катере. Найдите скорость автомобиля и скорость катера, если всего турист преодолел 160 км.

Решение.

1. Найдем расстояние, которое турист проплыл на катере и проехал на автомобиле.

Общий путь составляет $160$ км.

Расстояние, которое турист проплыл на катере ($S_к$), составляет $\frac{5}{8}$ всего пути:
$S_к = 160 \cdot \frac{5}{8} = 20 \cdot 5 = 100$ км.

Оставшуюся часть пути турист проехал на автомобиле ($S_а$):
$S_а = 160 - 100 = 60$ км.

2. Составим уравнение.

Пусть скорость катера ($v_к$) равна $x$ км/ч.

Тогда скорость автомобиля ($v_а$) равна $(x + 20)$ км/ч, так как она на $20$ км/ч больше скорости катера.

Время, затраченное на путь на катере ($t_к$), равно:
$t_к = \frac{S_к}{v_к} = \frac{100}{x}$ ч.

Время, затраченное на путь на автомобиле ($t_а$), равно:
$t_а = \frac{S_а}{v_а} = \frac{60}{x+20}$ ч.

По условию, на автомобиле он ехал на 1 ч 30 мин меньше, чем плыл на катере. Переведем 1 ч 30 мин в часы: $1 \text{ ч } 30 \text{ мин } = 1.5$ ч.

Составим уравнение, исходя из разницы во времени:
$t_к - t_а = 1.5$
$\frac{100}{x} - \frac{60}{x+20} = 1.5$

3. Решим уравнение.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
$\frac{100(x+20) - 60x}{x(x+20)} = 1.5$
$\frac{100x + 2000 - 60x}{x^2 + 20x} = 1.5$
$\frac{40x + 2000}{x^2 + 20x} = 1.5$

Умножим обе части на знаменатель $x^2 + 20x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -20$, что верно, так как скорость не может быть нулевой или отрицательной):
$40x + 2000 = 1.5(x^2 + 20x)$
$40x + 2000 = 1.5x^2 + 30x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$1.5x^2 + 30x - 40x - 2000 = 0$
$1.5x^2 - 10x - 2000 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$3x^2 - 20x - 4000 = 0$

Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4000) = 400 + 48000 = 48400$

Найдем корни уравнения:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_1 = \frac{20 + \sqrt{48400}}{2 \cdot 3} = \frac{20 + 220}{6} = \frac{240}{6} = 40$
$x_2 = \frac{20 - \sqrt{48400}}{2 \cdot 3} = \frac{20 - 220}{6} = \frac{-200}{6} = -\frac{100}{3}$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2$ не подходит по условию задачи.

Следовательно, скорость катера $v_к = x = 40$ км/ч.

Теперь найдем скорость автомобиля:
$v_а = x + 20 = 40 + 20 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость катера составляет 40 км/ч, а скорость автомобиля — 60 км/ч.