Номер 25.20, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.20, страница 211.

Условие.

25.20. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 20 дней. За сколько дней может выполнить это задание каждый из них, работая самостоятельно, если одному для этого требуется на 9 дней больше, чем другому?

Решение.

Пусть вся работа составляет 1 условную единицу.

Пусть первый рабочий выполняет всю работу за $x$ дней. Тогда его производительность (скорость работы) составляет $\frac{1}{x}$ часть работы в день.

По условию, второму рабочему для выполнения этой же работы требуется на 9 дней больше, то есть $(x+9)$ дней. Его производительность составляет $\frac{1}{x+9}$ часть работы в день.

Когда они работают вместе, их производительности складываются. Их общая производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+9}$.

Известно, что, работая вместе, они выполняют всю работу за 20 дней. Это означает, что их общая производительность равна $\frac{1}{20}$ часть работы в день.

Составим уравнение, приравняв общую производительность, выраженную через $x$, к известной общей производительности:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+9} = \frac{1}{20}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x+9)$:

$\frac{x+9+x}{x(x+9)} = \frac{1}{20}$

$\frac{2x+9}{x^2+9x} = \frac{1}{20}$

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получим:

$20(2x+9) = 1(x^2+9x)$

$40x + 180 = x^2 + 9x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 9x - 40x - 180 = 0$

$x^2 - 31x - 180 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 961 + 720 = 1681$

$\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 + 41}{2 \cdot 1} = \frac{72}{2} = 36$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 - 41}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$

Поскольку $x$ обозначает количество дней, оно не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -5$ не является решением задачи.

Таким образом, первому рабочему для выполнения задания требуется 36 дней.

Время, необходимое второму рабочему, составляет:

$x + 9 = 36 + 9 = 45$ дней.

Ответ: один рабочий может выполнить задание за 36 дней, а другой — за 45 дней.