Номер 25.26, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.26, страница 212.

Условие.

25.26. К бассейну подведены две трубы. Через одну трубу бассейн наполняют водой, а через другую сливают, причём для слива бассейна требуется на 1 ч больше, чем для его наполнения. Если же открыть обе трубы одновременно, то бассейн наполнится водой за 30 ч. За сколько часов можно наполнить пустой бассейн водой через первую трубу?

Решение.

Пусть время, за которое первая (наполняющая) труба может наполнить весь бассейн, равно $x$ часов.

Тогда производительность (скорость работы) первой трубы составляет $\frac{1}{x}$ часть бассейна в час.

Согласно условию, вторая (сливающая) труба опорожняет полный бассейн за время, которое на 1 час больше, чем время наполнения. То есть, за $x+1$ часов.

Следовательно, производительность второй трубы составляет $\frac{1}{x+1}$ часть бассейна в час.

Когда обе трубы открыты одновременно, их суммарная производительность равна разности производительностей наполняющей и сливающей труб, так как они работают в противоположных направлениях:

$P_{общая} = P_1 - P_2 = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

По условию, при одновременной работе обеих труб бассейн наполняется за 30 часов. Это означает, что их общая производительность равна $\frac{1}{30}$ часть бассейна в час.

Составим уравнение, приравняв два выражения для общей производительности:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} = \frac{1}{30}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{x+1 - x}{x(x+1)} = \frac{1}{30}$

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{30}$

Из этого равенства следует:

$x(x+1) = 30$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x - 30 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-30$. Подбором находим корни:

$x_1 = 5$

$x_2 = -6$

Так как $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -6$ не является решением задачи.

Таким образом, единственное подходящее решение — $x = 5$.

Ответ: 5 часов.