Номер 25.29, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.29, страница 212.

Условие.

25.29. Рабочий должен был за некоторое время изготовить 360 деталей. Первые 5 дней он ежедневно изготавливал запланированное количество деталей, а потом ежедневно изготавливал на 4 детали больше, и уже за день до срока изготовил 372 детали. Сколько деталей ежедневно должен был изготавливать рабочий по плану?

Решение.

Пусть $x$ — количество деталей, которое рабочий должен был изготавливать ежедневно по плану, а $t$ — количество дней, запланированное на выполнение всей работы.

По условию, рабочий должен был изготовить 360 деталей. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$x \cdot t = 360$

Отсюда можно выразить запланированное время работы $t$ через $x$:

$t = \frac{360}{x}$

Первые 5 дней рабочий изготавливал запланированное количество деталей, то есть $x$ деталей в день. За эти 5 дней он изготовил:

$5x$ деталей.

Затем он стал изготавливать на 4 детали больше, то есть его производительность стала $(x + 4)$ деталей в день.

Рабочий выполнил работу на 1 день раньше срока, то есть общее время работы составило $(t - 1)$ дней. Поскольку первые 5 дней он работал по старому плану, то с повышенной производительностью он работал:

$(t - 1) - 5 = t - 6$ дней.

За это время он изготовил:

$(x + 4)(t - 6)$ деталей.

Всего за $(t - 1)$ дней рабочий изготовил 372 детали. Составим второе уравнение, суммируя количество деталей, изготовленных в разные периоды:

$5x + (x + 4)(t - 6) = 372$

Теперь подставим выражение для $t$ из первого уравнения ($t = \frac{360}{x}$) во второе:

$5x + (x + 4)(\frac{360}{x} - 6) = 372$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$5x + x \cdot \frac{360}{x} - 6x + 4 \cdot \frac{360}{x} - 24 = 372$

$5x + 360 - 6x + \frac{1440}{x} - 24 = 372$

Приведем подобные слагаемые:

$-x + 336 + \frac{1440}{x} = 372$

Перенесем все члены в одну сторону:

$-x + 336 - 372 + \frac{1440}{x} = 0$

$-x - 36 + \frac{1440}{x} = 0$

Умножим обе части уравнения на $-x$ (при условии, что $x \neq 0$, что верно, так как $x$ - это количество деталей), чтобы избавиться от дроби и получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 + 36x - 1440 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a=1, b=36, c=-1440$

$D = 36^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1440) = 1296 + 5760 = 7056$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-36 \pm \sqrt{7056}}{2 \cdot 1} = \frac{-36 \pm 84}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-36 + 84}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{-36 - 84}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку $x$ представляет собой количество деталей, изготавливаемых в день, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, единственное верное решение — $x = 24$.

Ответ: 24 детали.