Номер 25.31, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.31, страница 212.

Условие.

25.31. Решите уравнение $|x+2|-|x-1|=3$.

Решение.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом интервалов. Этот метод заключается в том, чтобы найти точки, в которых выражения под знаком модуля меняют знак, разбить числовую ось на промежутки этими точками и решить уравнение на каждом из промежутков.

1. Найдем нули подмодульных выражений:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$

Эти точки, -2 и 1, разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $[-2; 1)$ и $[1; +\infty)$. Рассмотрим уравнение на каждом из них.

Случай 1: $x < -2$
На этом интервале оба подмодульных выражения отрицательны: $x+2 < 0$ и $x-1 < 0$.
Следовательно, $|x+2| = -(x+2)$ и $|x-1| = -(x-1)$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$-(x+2) - (-(x-1)) = 3$
$-x - 2 - (-x + 1) = 3$
$-x - 2 + x - 1 = 3$
$-3 = 3$
Получили неверное равенство, значит, на этом интервале решений нет.

Случай 2: $-2 \le x < 1$
На этом интервале выражение $x+2$ неотрицательно ($x+2 \ge 0$), а выражение $x-1$ отрицательно ($x-1 < 0$).
Следовательно, $|x+2| = x+2$ и $|x-1| = -(x-1)$.
Уравнение принимает вид:
$(x+2) - (-(x-1)) = 3$
$x + 2 + x - 1 = 3$
$2x + 1 = 3$
$2x = 2$
$x = 1$
Найденное значение $x=1$ не принадлежит рассматриваемому интервалу $[-2; 1)$, так как интервал является полуоткрытым. Следовательно, в этом случае также нет решений.

Случай 3: $x \ge 1$
На этом интервале оба подмодульных выражения неотрицательны: $x+2 > 0$ и $x-1 \ge 0$.
Следовательно, $|x+2| = x+2$ и $|x-1| = x-1$.
Уравнение принимает вид:
$(x+2) - (x-1) = 3$
$x + 2 - x + 1 = 3$
$3 = 3$
Получили верное тождество, которое выполняется для всех значений $x$ из данного интервала.
Таким образом, решением является весь промежуток $x \ge 1$.

Объединив результаты, полученные во всех трех случаях, приходим к выводу, что решением исходного уравнения является множество всех чисел $x$, удовлетворяющих условию $x \ge 1$.
Ответ: $x \in [1; +\infty)$.