Номер 26.6, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.6, страница 217.

Условие.

26.6. Числа p и q таковы, что $p:5$, $q:8$. Докажите, что $(8p - 5q):40$.

Решение.

По условию задачи дано, что число $p$ делится на 5 и число $q$ делится на 8. Используя обозначение делимости, мы можем записать это так:

$p \vdots 5$

$q \vdots 8$

Из определения делимости следует, что существуют целые числа $k$ и $m$, для которых выполняются следующие равенства:

$p = 5k$

$q = 8m$

Необходимо доказать, что выражение $(8p - 5q)$ делится на 40, то есть $(8p - 5q) \vdots 40$.

Подставим выражения для $p$ и $q$ в доказываемое выражение:

$8p - 5q = 8(5k) - 5(8m)$

Выполним умножение в каждом слагаемом:

$8p - 5q = 40k - 40m$

Вынесем общий множитель 40 за скобки:

$8p - 5q = 40(k - m)$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, их разность $(k - m)$ также является целым числом. Обозначим $n = k - m$, где $n$ — целое число.

Тогда мы получаем:

$8p - 5q = 40n$

Это выражение по определению означает, что $(8p - 5q)$ делится на 40 без остатка, так как оно является произведением числа 40 и некоторого целого числа $n$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что $(8p - 5q)$ делится на 40.