Номер 26.10, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.10, страница 218.

Условие.

26.10. Докажите, что при любых значениях $a$ и $b$ значение выражения $a^2b - b^2a$ является чётным числом.

Решение.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $a^2b - b^2a$ является чётным числом при любых целых значениях $a$ и $b$, преобразуем данное выражение. Вынесем общий множитель $ab$ за скобки:

$a^2b - b^2a = ab(a - b)$

Число является чётным, если оно делится на 2 без остатка. Произведение целых чисел является чётным, если хотя бы один из множителей является чётным. Рассмотрим все возможные случаи чётности чисел $a$ и $b$.

Случай 1: Хотя бы одно из чисел, $a$ или $b$, является чётным.

Если число $a$ — чётное, то и всё произведение $a \cdot b \cdot (a - b)$ будет чётным, так как произведение чётного числа на любое целое число всегда является чётным числом.

Аналогично, если число $b$ — чётное, то и всё произведение $ab(a - b)$ будет чётным.

Случай 2: Оба числа, $a$ и $b$, являются нечётными.

Если оба числа $a$ и $b$ нечётные, то их разность $(a - b)$ будет чётным числом. Докажем это: любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое число. Пусть $a = 2k+1$ и $b = 2m+1$. Тогда их разность:

$a - b = (2k+1) - (2m+1) = 2k + 1 - 2m - 1 = 2k - 2m = 2(k-m)$

Поскольку $k-m$ является целым числом, разность $(a-b)$ делится на 2, а значит, является чётным числом.

В этом случае в произведении $ab(a - b)$ множитель $(a-b)$ является чётным, следовательно, всё произведение также является чётным.

Мы рассмотрели все возможные комбинации чётности для чисел $a$ и $b$, и в каждом случае выражение $a^2b - b^2a$ является чётным числом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение $a^2b - b^2a$ можно представить в виде $ab(a - b)$. Если хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ чётное, то всё произведение чётно. Если оба числа $a$ и $b$ нечётные, то их разность $(a - b)$ является чётным числом, что также делает всё произведение чётным. Таким образом, при любых целых значениях $a$ и $b$ значение выражения является чётным числом.