Номер 26.16, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.16, страница 218.

Условие.

26.16. Существует ли многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что $P(1)=17, P(9)=53$?

Решение.

Предположим, что такой многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами существует.

Воспользуемся свойством многочленов с целыми коэффициентами: для любых целых чисел $a$ и $b$ разность $P(a) - P(b)$ делится нацело на $a - b$. Это следует из того, что для любого натурального $k$ разность $a^k - b^k$ делится на $a-b$.

В нашем случае $a = 9$ и $b = 1$. По условию, $P(9) = 53$ и $P(1) = 17$.

Согласно указанному свойству, разность $P(9) - P(1)$ должна делиться нацело на разность $9 - 1$.

Вычислим эти значения:

$P(9) - P(1) = 53 - 17 = 36$

$9 - 1 = 8$

Теперь необходимо проверить, делится ли 36 на 8.

$36 / 8 = 4.5$

Поскольку 36 не делится на 8 нацело ($36 = 8 \cdot 4 + 4$), мы приходим к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Таким образом, многочлена с целыми коэффициентами, удовлетворяющего заданным условиям, не существует.

Ответ: не существует.