Номер 26.17, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.17, страница 218.

Условие.

26.17. Решите в целых числах уравнение:

1) $xy = x + y$;

2) $xy - x - 2y = 5$.

Решение.

1)

Исходное уравнение: $xy = x + y$.

Для решения данного уравнения в целых числах преобразуем его. Перенесем все члены в левую часть:

$xy - x - y = 0$

Прибавим и вычтем 1, чтобы можно было разложить выражение на множители методом группировки:

$xy - x - y + 1 - 1 = 0$

Группируем слагаемые:

$(xy - x) - (y - 1) = 1$

$x(y - 1) - 1(y - 1) = 1$

Выносим общий множитель $(y - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(y - 1) = 1$

Поскольку по условию $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x - 1)$ и $(y - 1)$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях:

1. Оба множителя равны 1.

$\begin{cases} x - 1 = 1 \\ y - 1 = 1 \end{cases}$

Отсюда находим $x = 2$ и $y = 2$.

2. Оба множителя равны -1.

$\begin{cases} x - 1 = -1 \\ y - 1 = -1 \end{cases}$

Отсюда находим $x = 0$ и $y = 0$.

Таким образом, уравнение имеет две пары целочисленных решений.

Ответ: $(0; 0)$, $(2; 2)$.

2)

Исходное уравнение: $xy - x - 2y = 5$.

Используем тот же метод разложения на множители. Сгруппируем члены с $x$:

$x(y - 1) - 2y = 5$

Чтобы в левой части можно было выделить множитель $(y - 1)$, преобразуем член $-2y$, прибавив и вычтя 2:

$x(y - 1) - 2y + 2 - 2 = 5$

$x(y - 1) - 2(y - 1) - 2 = 5$

Перенесем свободный член в правую часть:

$x(y - 1) - 2(y - 1) = 5 + 2$

Выносим общий множитель $(y - 1)$ за скобки:

$(x - 2)(y - 1) = 7$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $(x - 2)$ и $(y - 1)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 7. Число 7 является простым, поэтому его можно представить в виде произведения целых чисел следующими способами: $1 \cdot 7$, $7 \cdot 1$, $(-1) \cdot (-7)$, $(-7) \cdot (-1)$.

Рассмотрим все четыре возможных случая:

1. $\begin{cases} x - 2 = 1 \\ y - 1 = 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 3 \\ y = 8 \end{cases}$

2. $\begin{cases} x - 2 = 7 \\ y - 1 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 9 \\ y = 2 \end{cases}$

3. $\begin{cases} x - 2 = -1 \\ y - 1 = -7 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ y = -6 \end{cases}$

4. $\begin{cases} x - 2 = -7 \\ y - 1 = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -5 \\ y = 0 \end{cases}$

Таким образом, уравнение имеет четыре пары целочисленных решений.

Ответ: $(3; 8)$, $(9; 2)$, $(1; -6)$, $(-5; 0)$.