Номер 26.24, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.24, страница 218.

Условие.

26.24. Числа $a, b, c, d$ таковы, что $(ab + cd) : (a + c)$. Докажите, что $(ad + bc) : (a + c)$.

Решение.

По условию задачи, выражение $(ab + cd)$ делится на $(a + c)$.

Рассмотрим сумму выражений $(ab + cd)$ и $(ad + bc)$. После перестановки и группировки слагаемых получаем:

$(ab + cd) + (ad + bc) = ab + ad + bc + cd = a(b+d) + c(b+d) = (a+c)(b+d)$.

Это произведение очевидно делится на $(a+c)$, так как является его произведением с числом $(b+d)$.

Итак, мы имеем сумму двух выражений, которая делится на $(a+c)$. При этом, по условию, одно из слагаемых, $(ab + cd)$, также делится на $(a+c)$.

Согласно свойству делимости, если сумма двух чисел и одно из слагаемых делятся на некоторое число, то и второе слагаемое должно делиться на это же число. Следовательно, выражение $(ad + bc)$ также делится на $(a+c)$. Что и требовалось доказать.

Ответ: было доказано, что $(ad+bc)$ делится на $(a+c)$.