Номер 26.27, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.27, страница 219.

Условие.

26.27. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^3 \vdots (a^2+b^2)$. Докажите, что$b^4 \vdots (a^2+b^2)$.

Решение.

По условию, натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^3$ делится на $a^2 + b^2$. Это можно записать как $a^2 + b^2 | a^3$.

Преобразуем выражение $a^3$: $a^3 = a \cdot a^2 = a((a^2 + b^2) - b^2) = a(a^2 + b^2) - ab^2$.

Поскольку $a(a^2 + b^2)$ очевидно делится на $a^2 + b^2$, а по условию $a^3$ также делится на $a^2 + b^2$, то их разность тоже должна делиться на $a^2 + b^2$. Следовательно, $a^2 + b^2 | (a(a^2 + b^2) - a^3)$. Подставляя выражение для $a(a^2 + b^2)$, получаем: $a^2 + b^2 | (a^3 + ab^2) - a^3$, что упрощается до $a^2 + b^2 | ab^2$.

Пусть $d = \text{НОД}(a, b)$ — наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$. Тогда существуют такие натуральные числа $x$ и $y$, что $a = dx$ и $b = dy$, причём числа $x$ и $y$ взаимно просты ($\text{НОД}(x, y) = 1$).

Подставим эти выражения в полученное нами условие $a^2 + b^2 | ab^2$: $(dx)^2 + (dy)^2 | (dx)(dy)^2$ $d^2x^2 + d^2y^2 | d^3xy^2$ $d^2(x^2 + y^2) | d^3xy^2$

Поскольку $d$ — натуральное число, мы можем разделить обе части на $d^2$: $x^2 + y^2 | dxy^2$.

Так как $x$ и $y$ взаимно просты, то $x^2$ и $y^2$ также взаимно просты. Рассмотрим $\text{НОД}(x^2 + y^2, y^2)$. По свойству НОД, $\text{НОД}(x^2 + y^2, y^2) = \text{НОД}(x^2 + y^2 - y^2, y^2) = \text{НОД}(x^2, y^2) = 1$. Из того, что $x^2 + y^2 | dxy^2$ и $\text{НОД}(x^2 + y^2, y^2) = 1$, по лемме Евклида следует, что $x^2 + y^2 | dx$.

Аналогично, рассмотрим $\text{НОД}(x^2 + y^2, x) = \text{НОД}(y^2, x)$. Так как $\text{НОД}(x, y) = 1$, то и $\text{НОД}(x, y^2) = 1$. Из того, что $x^2 + y^2 | dx$ и $\text{НОД}(x^2 + y^2, x) = 1$, следует, что $x^2 + y^2 | d$.

Это означает, что $d$ кратно $x^2 + y^2$, то есть существует натуральное число $k$ такое, что $d = k(x^2 + y^2)$.

Теперь докажем требуемое утверждение: $a^2 + b^2 | b^4$. Подставим $a=dx$ и $b=dy$: $(dx)^2 + (dy)^2 | (dy)^4$ $d^2(x^2 + y^2) | d^4y^4$

Чтобы это доказать, достаточно показать, что частное $\frac{d^4y^4}{d^2(x^2 + y^2)}$ является целым числом. $\frac{d^4y^4}{d^2(x^2 + y^2)} = \frac{d^2y^4}{x^2 + y^2}$. Теперь подставим выражение для $d = k(x^2 + y^2)$: $\frac{(k(x^2 + y^2))^2 y^4}{x^2 + y^2} = \frac{k^2(x^2 + y^2)^2 y^4}{x^2 + y^2} = k^2(x^2 + y^2)y^4$.

Поскольку $k, x, y$ — натуральные числа, выражение $k^2(x^2 + y^2)y^4$ является целым числом. Следовательно, $d^2(x^2 + y^2)$ делит $d^4y^4$, а значит $a^2 + b^2$ делит $b^4$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.