Номер 26.28, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.28, страница 219.

Условие.

26.28. Трёхзначное число $\overline{abc}$ кратно числу 37. Докажите, что сумма чисел $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ также кратна числу 37.

Решение.

Пусть $\overline{abc}$ — трёхзначное число. В десятичной системе счисления его можно представить как $100a + 10b + c$.

Аналогично, числа $\overline{bca}$ и $\overline{cab}$ можно представить в виде:

$\overline{bca} = 100b + 10c + a$

$\overline{cab} = 100c + 10a + b$

По условию задачи, число $\overline{abc}$ кратно 37. Это означает, что $100a + 10b + c$ делится на 37 без остатка.

Нам нужно доказать, что сумма чисел $\overline{bca} + \overline{cab}$ также кратна 37.

Рассмотрим сумму всех трёх чисел, полученных циклической перестановкой цифр $a, b$ и $c$:

$\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(100a + a + 10a) + (10b + 100b + b) + (c + 10c + 100c) = 111a + 111b + 111c$

Вынесем общий множитель 111 за скобки:

$111(a + b + c)$

Заметим, что число 111 кратно 37, так как $111 = 3 \cdot 37$.

Следовательно, сумма $\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = 3 \cdot 37 \cdot (a + b + c)$ всегда кратна 37, независимо от значений цифр $a, b, c$.

Теперь выразим искомую сумму $\overline{bca} + \overline{cab}$ через общую сумму:

$\overline{bca} + \overline{cab} = (\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab}) - \overline{abc}$

Мы получили разность двух выражений:

1. Уменьшаемое $(\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab})$ кратно 37, как мы доказали выше.
2. Вычитаемое $\overline{abc}$ кратно 37 по условию задачи.

Поскольку разность двух чисел, каждое из которых кратно 37, также кратна 37, то и сумма $\overline{bca} + \overline{cab}$ кратна 37.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.