Номер 26.29, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.29, страница 219.

Условие.

26.29. Цифры $a$ и $b$ трёхзначного числа $m = \overline{aba}$ таковы, что $(a+b) \vdots 7$.

Докажите, что $m \vdots 7$.

Решение.

Дано трехзначное число $m = \overline{aba}$ и условие, что сумма его цифр $(a + b)$ делится на 7. Требуется доказать, что число $m$ также делится на 7.

1. Запишем число $m$ в виде суммы разрядных слагаемых:

$m = a \cdot 100 + b \cdot 10 + a = 101a + 10b$

2. Преобразуем это выражение, чтобы выделить слагаемые, делимость которых на 7 известна или очевидна. Для этого представим коэффициенты 101 и 10 в виде суммы, где одно из слагаемых кратно 7:

$m = (98 + 3)a + (7 + 3)b$

$m = 98a + 3a + 7b + 3b$

3. Сгруппируем слагаемые:

$m = (98a + 7b) + (3a + 3b)$

4. Вынесем общие множители из каждой группы:

$m = 7(14a + b) + 3(a + b)$

5. Проанализируем полученную сумму. Она состоит из двух слагаемых:

• Первое слагаемое, $7(14a + b)$, очевидно делится на 7, так как содержит множитель 7.
• Второе слагаемое, $3(a + b)$, также делится на 7, поскольку по условию задачи множитель $(a + b)$ делится на 7.

По свойству делимости, если каждое из двух слагаемых делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число. Следовательно, число $m$ делится на 7.

Ответ: Что и требовалось доказать.