Номер 26.23, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.23, страница 218.

Условие.

26.23. Числа $a, b, m, n$ таковы, что $(ab - mn) : (b - m)$. Докажите, что $(am - bn) : (b - m)$.

Решение.

По условию задачи, выражение $(ab - mn)$ делится на $(b - m)$. Это означает, что $(ab - mn)$ является кратным $(b - m)$.

Нам необходимо доказать, что выражение $(am - bn)$ также делится на $(b - m)$.

Для доказательства преобразуем выражение $(am - bn)$, стремясь связать его с известным нам выражением $(ab - mn)$. Один из способов это сделать — рассмотреть их разность:

$(am - bn) - (ab - mn)$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$am - bn - ab + mn = (am - ab) + (mn - bn)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(m - b) + n(m - b)$

Теперь вынесем общий множитель $(m - b)$:

$(a + n)(m - b)$

Так как $(m - b) = -(b - m)$, то полученное выражение можно переписать в виде:

$-(a + n)(b - m)$

Таким образом, мы установили равенство:

$(am - bn) - (ab - mn) = -(a + n)(b - m)$

Выразим из этого равенства $(am - bn)$:

$am - bn = (ab - mn) - (a + n)(b - m)$

Проанализируем правую часть полученного равенства. Она состоит из двух слагаемых:

1. $(ab - mn)$ — по условию задачи делится на $(b - m)$.
2. $(a + n)(b - m)$ — очевидно, делится на $(b - m)$, так как является произведением $(b - m)$ на целое число $(a + n)$.

Поскольку оба слагаемых в правой части, $(ab - mn)$ и $(a + n)(b - m)$, делятся на $(b - m)$, то их разность также будет делиться на $(b - m)$.

Следовательно, левая часть равенства, то есть выражение $(am - bn)$, делится на $(b - m)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.