Номер 26.18, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.18, страница 218.

Условие.

26.18. Решите в целых числах уравнение $2xy + 2x - 3y - 4 = 0$.

Решение.

Для решения данного диофантова уравнения в целых числах, преобразуем его левую часть методом разложения на множители.

Исходное уравнение:

$2xy + 2x - 3y - 4 = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы вынести общие множители. Вынесем $2x$ из первых двух слагаемых:

$2x(y + 1) - 3y - 4 = 0$

Теперь преобразуем оставшуюся часть $-3y - 4$ так, чтобы в ней также появился множитель $(y + 1)$. Для этого вынесем $-3$ за скобки:

$2x(y + 1) - 3(y + \frac{4}{3}) = 0$

Этот путь приводит к дробям. Попробуем по-другому. Добавим и вычтем такое число, чтобы можно было сгруппировать слагаемые. Чтобы из $-3y$ получить выражение с $(y+1)$, нам нужно $-3(y+1)$, что равно $-3y-3$.

Запишем уравнение так:

$2x(y + 1) - 3y - 3 - 1 = 0$

$2x(y + 1) - 3(y + 1) - 1 = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(y + 1)$ за скобки:

$(2x - 3)(y + 1) = 1$

По условию задачи, переменные $x$ и $y$ должны быть целыми числами. Это означает, что выражения в скобках, $(2x - 3)$ и $(y + 1)$, также должны быть целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях:

1. Оба множителя равны 1.
2. Оба множителя равны -1.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Оба множителя равны 1.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x - 3 = 1 \\ y + 1 = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение относительно $x$:

$2x = 1 + 3$

$2x = 4$

$x = 2$

Решим второе уравнение относительно $y$:

$y = 1 - 1$

$y = 0$

Получили первую пару целых решений: $(2; 0)$.

Случай 2: Оба множителя равны -1.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x - 3 = -1 \\ y + 1 = -1 \end{cases}$

Решим первое уравнение относительно $x$:

$2x = -1 + 3$

$2x = 2$

$x = 1$

Решим второе уравнение относительно $y$:

$y = -1 - 1$

$y = -2$

Получили вторую пару целых решений: $(1; -2)$.

Других вариантов разложения числа 1 на целые множители не существует, следовательно, других целочисленных решений у уравнения нет.

Ответ: $(2; 0)$, $(1; -2)$.