Номер 26.25, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.25, страница 218.

Условие.

26.25. Числа x и y таковы, что $(3x + 10y) : 13$. Докажите, что $(3x + 10y)(3y + 10x) : 169$.

Решение.

По условию задачи, выражение $(3x + 10y)$ делится нацело на 13. Это означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство: $3x + 10y = 13k$.

Нам необходимо доказать, что произведение $(3x + 10y)(3y + 10x)$ делится нацело на 169. Заметим, что $169 = 13^2$. Поскольку нам уже дано, что первый множитель $(3x + 10y)$ делится на 13, для доказательства всего утверждения достаточно показать, что и второй множитель $(3y + 10x)$ также делится на 13.

Рассмотрим выражение $(3y + 10x)$. Чтобы связать его с известным нам выражением $(3x + 10y)$, рассмотрим их сумму:

$(3y + 10x) + (3x + 10y) = 13x + 13y = 13(x+y)$

Сумма этих двух выражений очевидно делится на 13. Из этого равенства мы можем выразить $(3y + 10x)$:

$(3y + 10x) = 13(x+y) - (3x + 10y)$

В правой части этого равенства и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на 13. Уменьшаемое $13(x+y)$ делится на 13, так как является произведением 13 на целое число $(x+y)$. Вычитаемое $(3x + 10y)$ делится на 13 по условию задачи.

Так как разность двух чисел, каждое из которых делится на 13, также делится на 13, мы можем заключить, что выражение $(3y + 10x)$ делится нацело на 13.

Таким образом, мы установили, что оба множителя в исходном произведении делятся на 13. Следовательно, существуют такие целые числа $k$ и $m$, что:

$3x + 10y = 13k$

$3y + 10x = 13m$

Теперь найдем их произведение:

$(3x + 10y)(3y + 10x) = (13k) \cdot (13m) = 169km$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, их произведение $km$ также является целым числом. Следовательно, произведение $(3x + 10y)(3y + 10x)$ делится на 169, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.