Номер 26.21, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.21, страница 218.

Условие.

26.21. Числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения $3x + 8y$ кратно 19. Докажите, что значение выражения $13x + 3y$ кратно 19.

Решение.

По условию задачи, значение выражения $3x + 8y$ кратно 19. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $3x + 8y = 19k$. Нам нужно доказать, что выражение $13x + 3y$ также кратно 19.

Для доказательства воспользуемся методом линейной комбинации выражений. Цель — выразить одно из выражений через другое таким образом, чтобы доказать делимость. Обозначим $A = 3x + 8y$ и $B = 13x + 3y$. Мы знаем, что $A$ делится на 19, и хотим доказать, что $B$ делится на 19.

Свяжем эти два выражения, исключив одну из переменных, например $y$. Для этого умножим выражение $A$ на 3, а выражение $B$ на 8, чтобы коэффициенты при $y$ стали одинаковыми (равными 24):
$3A = 3 \cdot (3x + 8y) = 9x + 24y$
$8B = 8 \cdot (13x + 3y) = 104x + 24y$

Теперь вычтем первое полученное выражение из второго:
$8B - 3A = (104x + 24y) - (9x + 24y)$
$8B - 3A = 95x$

Выразим $8B$ из этого равенства:
$8B = 3A + 95x$
Подставив обратно исходные выражения, получим:
$8(13x + 3y) = 3(3x + 8y) + 95x$

Проанализируем правую часть полученного равенства.
Первое слагаемое, $3(3x + 8y)$, кратно 19, так как по условию выражение $3x + 8y$ кратно 19.
Второе слагаемое, $95x$, также кратно 19, поскольку его коэффициент $95 = 5 \cdot 19$.
Сумма двух чисел, кратных 19, также кратна 19. Следовательно, вся правая часть $3(3x + 8y) + 95x$ кратна 19.

Таким образом, мы установили, что произведение $8(13x + 3y)$ кратно 19.
Поскольку числа 8 и 19 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), из того, что произведение $8 \cdot (13x + 3y)$ делится на 19, следует, что множитель $(13x + 3y)$ должен делиться на 19.
Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что значение выражения $13x+3y$ кратно 19.