Номер 26.22, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.22, страница 218.

Условие.

26.22. Числа $c$ и $d$ таковы, что значение выражения $2c + 5d$ кратно 17.

Докажите, что значение выражения $11c + 2d$ кратно 17.

Решение.

По условию, значение выражения $2c + 5d$ кратно $17$. Это значит, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство $2c + 5d = 17k$.

Требуется доказать, что значение выражения $11c + 2d$ также кратно $17$.

Для доказательства воспользуемся методом, основанным на свойствах делимости. Мы можем составить такую линейную комбинацию выражений $2c + 5d$ и $11c + 2d$, чтобы исключить одну из переменных.

Умножим выражение $2c + 5d$ на $11$, а выражение $11c + 2d$ на $2$, чтобы коэффициенты при переменной $c$ стали одинаковыми:

$11(2c + 5d) = 22c + 55d$

$2(11c + 2d) = 22c + 4d$

Теперь вычтем второе полученное выражение из первого:

$11(2c + 5d) - 2(11c + 2d) = (22c + 55d) - (22c + 4d) = 22c + 55d - 22c - 4d = 51d$

Из полученного равенства выразим искомое выражение, умноженное на $2$:

$2(11c + 2d) = 11(2c + 5d) - 51d$

Проанализируем правую часть этого равенства:

1. Выражение $11(2c + 5d)$ кратно $17$, так как по условию $2c + 5d$ кратно $17$.
2. Выражение $51d$ кратно $17$, так как $51 = 3 \cdot 17$, и, следовательно, $51d = 3 \cdot 17 \cdot d$.

Поскольку оба слагаемых в правой части ($11(2c + 5d)$ и $51d$) кратны $17$, их разность также кратна $17$. Это означает, что левая часть равенства, $2(11c + 2d)$, кратна $17$.

Так как произведение $2(11c + 2d)$ делится на простое число $17$, а один из множителей ($2$) не делится на $17$, то на $17$ должен делиться второй множитель, то есть $11c + 2d$.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $11c + 2d$ кратно $17$.

Ответ: Что и требовалось доказать.