Номер 26.15, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.15, страница 218.

Условие.

26.15. Решите в целых числах уравнение:

1) $x^2 - 4y^2 = 5;$

2) $y^2 + 3xy = 15 + y;$

3) $x^2 - 3xy + 3y - x = 10;$

4) $2y^2 - xy - x^2 = 2.$

Решение.

1) $x^2 - 4y^2 = 5$

Разложим левую часть уравнения на множители как разность квадратов: $x^2 - (2y)^2 = 5$ $(x - 2y)(x + 2y) = 5$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x - 2y)$ и $(x + 2y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 5. Число 5 является простым, поэтому его можно представить в виде произведения целых чисел следующими способами: $1 \cdot 5$, $5 \cdot 1$, $(-1) \cdot (-5)$, $(-5) \cdot (-1)$. Рассмотрим каждую из четырех возможных систем уравнений:

1. $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ x + 2y = 5 \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $2x = 6$, откуда $x = 3$. Подставив $x=3$ в первое уравнение, получим $3 - 2y = 1$, откуда $2y=2$ и $y=1$. Решение: $(3, 1)$.

2. $\begin{cases} x - 2y = 5 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $2x = 6$, откуда $x = 3$. Подставив $x=3$ во второе уравнение, получим $3 + 2y = 1$, откуда $2y=-2$ и $y=-1$. Решение: $(3, -1)$.

3. $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ x + 2y = -5 \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставив $x=-3$ в первое уравнение, получим $-3 - 2y = -1$, откуда $2y=-2$ и $y=-1$. Решение: $(-3, -1)$.

4. $\begin{cases} x - 2y = -5 \\ x + 2y = -1 \end{cases}$ Сложив уравнения, получим $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставив $x=-3$ во второе уравнение, получим $-3 + 2y = -1$, откуда $2y=2$ и $y=1$. Решение: $(-3, 1)$.

Ответ: $(3, 1)$, $(3, -1)$, $(-3, -1)$, $(-3, 1)$.

2) $y^2 + 3xy = 15 + y$

Перенесем $y$ в левую часть и вынесем общий множитель $y$ за скобки: $y^2 - y + 3xy = 15$ $y(y - 1 + 3x) = 15$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $y$ должен быть целым делителем числа 15. Целые делители 15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$. Проверим каждый из этих случаев.

- Если $y = 1$: $1(1 - 1 + 3x) = 15 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$. Решение: $(5, 1)$.
- Если $y = -1$: $-1(-1 - 1 + 3x) = 15 \Rightarrow -(-2 + 3x) = 15 \Rightarrow 2 - 3x = 15 \Rightarrow 3x = -13$. Нет целых решений для $x$.
- Если $y = 3$: $3(3 - 1 + 3x) = 15 \Rightarrow 2 + 3x = 5 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$. Решение: $(1, 3)$.
- Если $y = -3$: $-3(-3 - 1 + 3x) = 15 \Rightarrow -4 + 3x = -5 \Rightarrow 3x = -1$. Нет целых решений для $x$.
- Если $y = 5$: $5(5 - 1 + 3x) = 15 \Rightarrow 4 + 3x = 3 \Rightarrow 3x = -1$. Нет целых решений для $x$.
- Если $y = -5$: $-5(-5 - 1 + 3x) = 15 \Rightarrow -6 + 3x = -3 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$. Решение: $(1, -5)$.
- Если $y = 15$: $15(15 - 1 + 3x) = 15 \Rightarrow 14 + 3x = 1 \Rightarrow 3x = -13$. Нет целых решений для $x$.
- Если $y = -15$: $-15(-15 - 1 + 3x) = 15 \Rightarrow -16 + 3x = -1 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$. Решение: $(5, -15)$.

Ответ: $(5, 1)$, $(1, 3)$, $(1, -5)$, $(5, -15)$.

3) $x^2 - 3xy + 3y - x = 10$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки: $(x^2 - x) - (3xy - 3y) = 10$ $x(x - 1) - 3y(x - 1) = 10$ $(x - 1)(x - 3y) = 10$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то множители $(x - 1)$ и $(x - 3y)$ также являются целыми числами и их произведение равно 10. Обозначим $A = x - 1$ и $B = x - 3y$. Тогда $AB=10$. Из первого равенства $x = A + 1$. Подставим это во второе: $(A + 1) - 3y = B$, откуда $3y = A - B + 1$. Для того чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы выражение $(A - B + 1)$ делилось на 3. Проверим все пары целых делителей числа 10. Делители 10: $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$.

1. $(A, B) = (1, 10)$: $A - B + 1 = 1 - 10 + 1 = -8$. Не делится на 3.
2. $(A, B) = (10, 1)$: $A - B + 1 = 10 - 1 + 1 = 10$. Не делится на 3.
3. $(A, B) = (-1, -10)$: $A - B + 1 = -1 - (-10) + 1 = 10$. Не делится на 3.
4. $(A, B) = (-10, -1)$: $A - B + 1 = -10 - (-1) + 1 = -8$. Не делится на 3.
5. $(A, B) = (2, 5)$: $A - B + 1 = 2 - 5 + 1 = -2$. Не делится на 3.
6. $(A, B) = (5, 2)$: $A - B + 1 = 5 - 2 + 1 = 4$. Не делится на 3.
7. $(A, B) = (-2, -5)$: $A - B + 1 = -2 - (-5) + 1 = 4$. Не делится на 3.
8. $(A, B) = (-5, -2)$: $A - B + 1 = -5 - (-2) + 1 = -2$. Не делится на 3.

Ни в одном из случаев выражение $A - B + 1$ не делится на 3, следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.

4) $2y^2 - xy - x^2 = 2$

Умножим уравнение на -1 и разложим левую часть на множители: $x^2 + xy - 2y^2 = -2$ $(x + 2y)(x - y) = -2$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x + 2y)$ и $(x - y)$ также являются целыми числами, и их произведение равно -2. Возможные пары множителей: $(1, -2)$, $(-2, 1)$, $(-1, 2)$, $(2, -1)$. Рассмотрим каждую из четырех систем уравнений:

1. $\begin{cases} x + 2y = 1 \\ x - y = -2 \end{cases}$ Вычтем второе уравнение из первого: $(x + 2y) - (x - y) = 1 - (-2) \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1$. Из второго уравнения: $x = y - 2 = 1 - 2 = -1$. Решение: $(-1, 1)$.

2. $\begin{cases} x + 2y = -2 \\ x - y = 1 \end{cases}$ Вычтем второе уравнение из первого: $3y = -3 \Rightarrow y = -1$. Из второго уравнения: $x = y + 1 = -1 + 1 = 0$. Решение: $(0, -1)$.

3. $\begin{cases} x + 2y = -1 \\ x - y = 2 \end{cases}$ Вычтем второе уравнение из первого: $3y = -3 \Rightarrow y = -1$. Из второго уравнения: $x = y + 2 = -1 + 2 = 1$. Решение: $(1, -1)$.

4. $\begin{cases} x + 2y = 2 \\ x - y = -1 \end{cases}$ Вычтем второе уравнение из первого: $3y = 3 \Rightarrow y = 1$. Из второго уравнения: $x = y - 1 = 1 - 1 = 0$. Решение: $(0, 1)$.

Ответ: $(-1, 1)$, $(0, -1)$, $(1, -1)$, $(0, 1)$.