Номер 26.12, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.12, страница 218.

Условие.

26.12. Числа $x, y, z$ таковы, что $xz \vdots (z-y)$. Докажите, что $xy \vdots (z-y)$.

Решение.

По условию, выражение $xz$ делится нацело на $(z - y)$. Будем считать, что $x, y, z$ — целые числа, так как речь идет о делимости.

Запись $a \vdots b$ означает, что $a$ делится на $b$, то есть существует такое целое число $k$, что $a = kb$.

Таким образом, из условия $xz \vdots (z - y)$ следует, что существует целое число $k$, для которого выполняется равенство:

$xz = k(z - y)$

Нам нужно доказать, что $xy \vdots (z - y)$.

Рассмотрим выражение $xy$ и преобразуем его, прибавив и отняв $xz$:

$xy = xy - xz + xz$

Сгруппируем слагаемые:

$xy = xz - (xz - xy)$

Вынесем общий множитель $x$ из выражения в скобках:

$xy = xz - x(z - y)$

Теперь проанализируем правую часть полученного равенства. Она представляет собой разность двух выражений: $xz$ и $x(z - y)$.

1. Выражение $xz$ делится на $(z - y)$ по условию задачи.
2. Выражение $x(z - y)$ очевидно делится на $(z - y)$, результатом деления будет целое число $x$.

Согласно свойству делимости, если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и их разность делится на это число. Следовательно, $xy$ делится на $(z - y)$.

Это можно показать и прямой подстановкой. Заменим $xz$ на $k(z - y)$:

$xy = k(z - y) - x(z - y)$

Вынесем $(z - y)$ за скобки:

$xy = (k - x)(z - y)$

Поскольку $k$ и $x$ — целые числа, их разность $m = k - x$ также является целым числом. Мы получили, что $xy = m(z - y)$, что по определению означает, что $xy$ делится на $(z - y)$.

Ответ: Утверждение доказано.