Номер 26.7, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.7, страница 217.

Условие.

26.7. Числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что $a:c$ и $(a+b):c$. Докажите, что $b:c$.

Решение.

По условию задачи дано, что число $a$ делится на $c$ и сумма чисел $(a + b)$ также делится на $c$. Требуется доказать, что число $b$ делится на $c$.

Запишем условия с помощью математических определений делимости. Если число $a$ делится на $c$ (что обозначается как $a \vdots c$), это означает, что существует такое целое число $k$, что выполняется равенство:

$a = k \cdot c$

Аналогично, если сумма $(a + b)$ делится на $c$ (то есть $(a + b) \vdots c$), это означает, что существует такое целое число $m$, что выполняется равенство:

$a + b = m \cdot c$

Нам необходимо доказать, что $b \vdots c$, то есть что существует такое целое число $n$, для которого $b = n \cdot c$.

Выразим $b$ из второго равенства:

$b = (a + b) - a$

Теперь подставим в это выражение правые части из наших равенств для $a$ и $(a + b)$:

$b = m \cdot c - k \cdot c$

Вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$b = (m - k) \cdot c$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, их разность $(m - k)$ также является целым числом. Обозначим эту разность как $n = m - k$, где $n$ — целое число.

Таким образом, мы получили равенство:

$b = n \cdot c$

Это равенство по определению означает, что число $b$ делится на число $c$ без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $b$ делится на $c$.