Номер 26.9, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.9, страница 218.

Условие.

26.9. Числа $m$ и $n$ таковы, что каждое из чисел $m + 5$ и $39 - n$ кратно 17.

Докажите, что число $m + n$ кратно 17.

Решение.

По условию задачи, число $m + 5$ кратно 17. Это означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство:

$m + 5 = 17k$

Выразим из этого равенства $m$:

$m = 17k - 5$

Также, по условию, число $39 - n$ кратно 17. Это означает, что существует такое целое число $j$, для которого выполняется равенство:

$39 - n = 17j$

Выразим из этого равенства $n$:

$n = 39 - 17j$

Теперь нам нужно доказать, что число $m + n$ кратно 17. Для этого найдем сумму $m + n$, подставив полученные для них выражения:

$m + n = (17k - 5) + (39 - 17j)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$m + n = 17k - 17j + 39 - 5$

$m + n = 17k - 17j + 34$

Вынесем общий множитель 17 за скобки:

$m + n = 17(k - j) + 17 \cdot 2$

$m + n = 17(k - j + 2)$

Поскольку $k$ и $j$ по определению являются целыми числами, то выражение в скобках $(k - j + 2)$ также является целым числом. Обозначим его, например, как $p = k - j + 2$, где $p$ — целое число.

Тогда мы получаем, что $m + n = 17p$.

Это равенство по определению означает, что число $m + n$ делится на 17 без остатка, то есть кратно 17. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что число $m+n$ кратно 17.