Номер 26.4, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.4, страница 217.

Условие.

26.4. Число $n$ кратно 4. Докажите, что $(n^2 + 8n) : 16.$

Решение.

По условию задачи число $n$ кратно 4. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $n$ можно представить в виде:
$n = 4k$

Теперь рассмотрим выражение $n^2 + 8n$ и докажем, что оно делится на 16. Для этого подставим $n = 4k$ в это выражение.

Способ 1: Прямая подстановка

$n^2 + 8n = (4k)^2 + 8(4k)$

Возведем в квадрат и выполним умножение:
$16k^2 + 32k$

Вынесем общий множитель 16 за скобки:
$16(k^2 + 2k)$

Так как $k$ — целое число, то и выражение в скобках $(k^2 + 2k)$ является целым числом. Таким образом, исходное выражение представлено в виде произведения 16 на целое число, что по определению означает, что оно кратно 16.

Способ 2: Разложение на множители

Сначала разложим выражение $n^2 + 8n$ на множители, вынеся $n$ за скобки:
$n^2 + 8n = n(n + 8)$

Теперь подставим $n = 4k$:
$n(n + 8) = (4k)(4k + 8)$

Вынесем множитель 4 из второй скобки:
$(4k) \cdot 4(k + 2)$

Перемножим коэффициенты:
$16k(k + 2)$

Поскольку $k$ — целое число, то $k+2$ — также целое число, и их произведение $k(k+2)$ является целым числом. Следовательно, все выражение является произведением 16 на целое число, а значит, оно кратно 16.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $(n^2 + 8n)$ всегда кратно 16, если $n$ кратно 4.